Аватары черепахи

Существует понятие, искажающее и лишающее смысла другие понятия. Я говорю не о Зле, чьи владения ограничиваются этикой, – я говорю о бесконечности. Мне очень хотелось когда-нибудь представить историю бесконечности в динамике. Многоглавая гидра (болотное чудовище, являющее собой предвосхищение и эмблему геометрических прогрессий) придавала бы надлежаще пугающий вид ее портику; венчали бы ее омерзительные кошмары Кафки, а в центре не обошлось бы без умопостроений того далекого германского кардинала – Николаса де Кребса, Николая Кузанского, – который увидел в окружности многоугольник с бесконечным числом сторон и записал, что бесконечная линия может быть как прямой, так и треугольником, так и кругом, так и сферой («De docta ignorantia», I, 13). Пять или шесть лет ученичества в области метафизики, теологии и математики (возможно) наделили бы меня способностью достойно выстроить эту книгу. Нет смысла добавлять, что жизнь лишает меня и такой надежды, и даже такого наречия.

В эту иллюзорную «Биографию бесконечности» каким-то образом входят и эти страницы. Цель их – обозначить несколько аватар второго парадокса Зенона.

Давайте вспомним сам парадокс.

Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи, он дает ей десять метров форы. Ахиллес преодолевает эти десять метров – черепаха преодолевает один метр; Ахиллес преодолевает этот метр – черепаха преодолевает один дециметр; Ахиллес преодолевает этот дециметр, черепаха – один сантиметр; Ахиллес преодолевает этот сантиметр, черепаха – один миллиметр; Ахиллес Быстроногий преодолевает этот миллиметр, черепаха – одну десятую миллиметра, и дальше, до бесконечности, так и не догоняя черепаху… Так выглядит привычная версия. Вильгельм Капелле («Die Vorsokratiken», 1935, с. 178) переводит с аристотелевского оригинала: «Второе [доказательство] – так называемый „Ахиллес“: оно состоит в том, что самое медленное существо никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то расстояние опережать преследующего». Задача, как мы видим, не меняется, но мне хотелось бы знать имя поэта, обогатившего ее героем и черепахой. Своей распространенностью это доказательство обязано двум волшебным соперникам и числовому ряду:

Почти никто не вспомнит предыдущее доказательство Зенона, с путем, хотя построены они одинаково. Движение невозможно (утверждает Зенон), так как перемещающееся тело, чтобы достичь цели, должно преодолеть половину пути, а прежде этого – половину половины, а прежде этого – половину половины половины, а прежде этого…

Аристотелю мы обязаны и пересказом, и первым опровержением этих доказательств. Он опровергает их с поспешностью, напоминающей презрение, однако воспоминание о них вдохновляет Аристотеля на знаменитый «аргумент третьего человека» против платоновского учения. Платон стремится доказать, что если у двух индивидуумов есть общие атрибуты (например, оба они люди), то они суть временные отображения одного и того же архетипа. Аристотель задается вопросом, имеют ли многочисленные люди и Человек (временные индивидуумы и архетип) общие атрибуты. Очевидно, что да: у них есть атрибуты самой человечности. В таком случае, заключает Аристотель, следует заявить о другом архетипе, который заключал бы в себе все эти сущности, а затем о четвертом… Патрисио де Аскарате в примечании к своему переводу «Метафизики» приписывает ученику Аристотеля следующую формулировку: «Если то, что утверждается о многих вещах сразу, есть отдельная сущность, отличная от вещей, о которых она утверждается (а именно на этом настаивают платоники), необходимо наличие третьего человека.