В главе 6, в связи с Великой теоремой Ферма, мы говорили о том, как использовал алгебраические числа Куммер и какое он предложил понятие идеальных чисел. Дедекинд упростил эту идею, переформулировав ее в терминах особых множеств алгебраических чисел, которые он назвал идеалами. После Куммера теория алгебраических чисел рванула вперед с помощью и при содействии теории уравнений Галуа и так же активно развивающейся абстрактной алгебры (глава 20). Фразу «алгебраическая теория чисел» можно интерпретировать двояко: это может быть и алгебраический подход к теории чисел, и теория алгебраических чисел. Теперь же оба значения сходились к одному и тому же, и именно в этом Немецкое математическое общество просило Гильберта разобраться. Он, что характерно, пошел намного дальше. Он задался вопросом, которым испокон веков задаются математики, столкнувшиеся с большим массивом интересных, но неорганизованных результатов: «Да, конечно, но о чем это на самом деле?» Поиск ответов на этот вопрос позволил ему сформулировать и доказать множество новых теорем.

Все время работы над «Отчетом о числах» Гильберт вел обширную переписку на эту тему с Минковским – иногда даже слишком обширную, так что временами Гильберт чувствовал настоящее отчаяние; ему начинало казаться, что работа никогда не будет закончена в виде, который удовлетворил бы его взыскательного друга. Однако в конечном итоге отчет был опубликован. В нем были сформулированы и доказаны общие аналоги квадратичной взаимности, образовавшие основу того, что мы сегодня называем теорией полей классов – это до сих пор активно развивающаяся, хотя и весьма сложная технически понятийная основа для теории алгебраических чисел. В предисловии к «Отчетам» говорится:

Таким образом, мы видим, как далеко арифметика – королева математики – зашла в захвате обширных областей алгебры и теории функций, чтобы стать их лидером… Следует заключить, если я не ошибаюсь, что прежде всего современное развитие теоретической математики происходит под знаменем числа.

Возможно, сегодня мы не станем заходить так далеко, но в то время такое заявление было вполне оправданным.

* * *

Гильберт, как правило, работал 5–10 лет в одной области, решал в ней крупные задачи, доводил все до совершенства, а затем уходил на новые «угодья», иногда совершенно забывая, что когда-то изучал эту тему. Однажды он заметил, что занимается математикой потому, что в ней, если что-то забудешь, всегда можно вывести это заново. Математик до мозга костей, теперь он «покончил» с алгебраической теорией чисел. И двинулся дальше. Его студенты, которых он из года в год бомбардировал лекциями об алгебраических числах, были поражены, когда выяснилось, что в следующем году темой лекций Гильберта будут начала геометрии. Гильберт возвращался к Евклиду.

Как всегда, у Гильберта были на то свои резоны, и опять же ключевой вопрос можно было сформулировать так: «Да, конечно, но о чем это на самом деле?» На этот вопрос Евклид дал бы ответ «о пространстве»; именно поэтому он все свои теоремы иллюстрировал геометрическими чертежами. Гильберта, однако, гораздо больше интересовала логическая структура аксиом геометрии и как из них проистекают теоремы, часто далеко не очевидные. Его также не устраивал у Евклида список аксиом, поскольку использование чертежей привело Евклида к некоторым допущениям, которые он не сформулировал явно.

Простой пример – утверждение «прямая, проходящая через точку, которая лежит внутри окружности, обязательно с этой окружностью пересекается». На чертеже это выглядит очевидно, но такое утверждение не является логическим следствием Евклидовых аксиом.