Среди базовых допущений Евклида имеется невысказанное, но безусловное ограничение на способы построения геометрических фигур. Все делается при помощи только прямых линий и окружностей. По существу, при построении разрешается пользоваться только линейкой и циркулем. Геометрия Евклида представляет собой математическую идеализацию, в которой прямые линии всегда бесконечно тонки и идеально прямы, а окружности бесконечно тонки и идеально круглы. Так что про Евклидовы построения никак не скажешь, что они сойдут, мол, для сельской местности; они точны, то есть достаточно хороши даже для проверки бесконечно педантичным сверхразумом с бесконечно мощным микроскопом.

* * *

Подход Гаусса к правильным многоугольникам основан на открытии Декарта, которое гласит, что геометрия и алгебра – две стороны одной монеты, связанные между собой координатами на плоскости. Прямая линия представляется уравнением, которому должны соответствовать координаты каждой ее точки. То же можно сказать об окружностях, только уравнение там получается посложнее. Если две прямые или окружности пересекаются, то точки их пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям. Если вы пытаетесь найти эти точки путем решения пары уравнений, то для двух прямых все получится достаточно просто. Если прямая пересекается с окружностью или если пересекаются две окружности, то вам придется решить квадратное уравнение. Для этого существует формула, и ее ключевое действие – извлечение квадратного корня. Остальное сводится к простой арифметике: сложить, вычесть, умножить, разделить.

Процесс геометрического построения при помощи линейки и циркуля сводится, с точки зрения алгебраиста, к формированию последовательности квадратных корней. Если воспользоваться кое-какими специфическими приемами, станет ясно, что это то же самое, что решить уравнение, «степень» которого – наибольшая степень неизвестного в нем – равна 2, 4, 8, 16, то есть представляет собой степень двойки. Не каждое такое уравнение сводится к совокупности квадратных уравнений, но ключ здесь – степень двойки. Какая именно степень, определяет, сколько квадратных уравнений вам потребуется объединить в цепочку.

Правильные многоугольники превращаются в очень простые уравнения, если воспользоваться комплексными числами, в которых из –1 можно извлечь квадратный корень. Вот, к примеру, уравнение для вершин правильного пятиугольника:

x⁵ – 1 = 0.

Согласитесь, очень простое и элегантное уравнение. Если исключить очевидное действительное решение x = 1, то остальные удовлетворяют уравнению

x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0.

По-прежнему красивое уравнение и, главное, четвертой степени, а 4 – степень двойки. Нечто аналогичное происходит и с уравнением семнадцатиугольника, но здесь в уравнениях складываются степени неизвестного вплоть до шестнадцатой, а 16 – тоже степень двойки.

С другой стороны, правильный семиугольник имеет аналогичное уравнение степени 6, которая не является степенью двойки. Так что вы определенно не можете построить правильный семиугольник при помощи линейки и циркуля. Поскольку Евклид строит пятиугольник, его уравнение тоже должно сводиться к серии квадратных уравнений. Применив алгебру, несложно выяснить, как именно. Вооруженный этой идеей, Гаусс обнаружил, что уравнение семнадцатиугольника тоже сводится к серии квадратных уравнений. Во-первых, 16 = 2⁴, то есть степень двойки, что необходимо для разложения в систему квадратных уравнений, хотя не всегда достаточно.