|
Простые числа определены однозначно и единственным образом, но в некоторых отношениях представляются случайными. Статистические закономерности среди них, однако, имеются. Около 1793 г. Гаусс заметил эмпирически, что число простых чисел, не превосходящих произвольное заданное число x, примерно равно x/log x. Он не смог этого доказать, но гипотеза получила известность как теорема о простых числах, поскольку в те дни слово «теорема» было стандартным обозначением для недоказанных утверждений. Вспомните хотя бы Великую теорему Ферма. Когда доказательство наконец появилось, то пришло оно с совершенно неожиданного направления. Простые числа – это дискретные объекты, возникающие в теории чисел. На противоположном конце математического спектра при этом находится комплексный анализ, который имеет дело с непрерывными объектами и пользуется совершенно иными (геометрическими, аналитическими, топологическими) методами. Казалось маловероятным, что между ними может быть какая-то связь, но связь, как оказалось, имеется, и после ее выявления математика изменилась навсегда.
Открытие связующего звена между ними восходит еще к Эйлеру, который в 1837 г., включив, видимо, режим сверхчувственного восприятия формул, заметил, что для любого числа s сумма бесконечного ряда 1 + 2<sup>–s</sup> + 3<sup>–s</sup> + 4<sup>–s</sup> + … равна произведению, по всем простым p, суммы ряда 1 + p<sup>–s</sup> + p<sup>–2s</sup> + p<sup>–3s</sup> + … = 1/(1 – p<sup>–s</sup>). Доказать это несложно; по существу, достаточно перевести принцип единственности разложения на простые множители на язык степенных рядов. Эйлер рассматривал этот ряд для действительных чисел s, а по большей части даже для целых s. Но он имеет смысл и в том случае, когда s – комплексное число, при соблюдении некоторых технических условий, связанных со сходимостью, и применении фокуса, позволяющего расширить диапазон чисел, для которых все это определено. В новом контексте это называется дзета-функцией и записывается как ζ (z). Когда мощь комплексного анализа начала проявлять себя, было естественно исследовать ряды такого рода при помощи новых инструментов в надежде, что удастся, может быть, обнаружить доказательство теоремы о распределении простых чисел. Риман, большой специалист по комплексному анализу, просто не мог пройти мимо такой возможности. Перспективность этого подхода впервые проявилась в 1848 г., когда Пафнутий Чебышев, воспользовавшись дзета-функцией (которая тогда еще так не называлась), сумел существенно продвинуться к доказательству теоремы о распределении простых чисел. Риман прояснил роль этой функции в краткой, но проницательной статье 1859 г. Он показал, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции, то есть с решениями уравнения ζ(z) = 0. Кульминацией статьи стала формула, в которой точное число простых чисел, не превосходящих заданной величины x, приравнивалось к сумме значений бесконечного ряда, взятых в нулях дзета-функции. И практически в качестве случайного отступления Риман предположил, что все нули дзета-функции, помимо очевидных – отрицательных целых чисел, лежат на критической линии z = ½ + it. Это предположение, окажись оно верным, имело бы множество значительных следствий. В частности, из него следует, что различные приближенные формулы с участием простых чисел на самом деле более точны, чем можно доказать в настоящее время. Вообще, диапазон тем, на которые повлияло бы доказательство гипотезы Римана, необъятен. Однако пока для этой гипотезы нет ни доказательства, ни опровержения. Есть кое-какие «экспериментальные» данные: в 1914 г. Годфри Харолд Харди доказал, что на критической линии действительно лежит бесконечное число нулей. |
