К 1873 г. Кантор углубился в исследования, результаты которых показали его как значительную фигуру в области теории множеств и трансфинитных (его собственный термин для бесконечных) чисел. Теория множеств с тех пор стала существенной частью любого математического курса, поскольку предоставляет удобный и гибкий язык для описания предмета. Если не углубляться в формальности, множество – это любой набор объектов: числа, треугольники, Римановы поверхности, перестановки и вообще что угодно. Множества можно комбинировать разными способами. К примеру, объединение двух множеств – это то, что получится, если соединить эти два множества в одно, а их пересечение – все то, что они имеют общего. Используя множества, мы можем определить такие базовые концепции, как функции и отношения. Мы можем построить такие системы чисел, как целые, рациональные, действительные и комплексные числа, из более простых составляющих, если привлечем к делу пустое множество, которое вообще не имеет элементов.

Трансфинитные числа – это способ расширить понятие «сколько элементов» на бесконечные множества. Кантор натолкнулся на эту идею в 1873 г., когда доказал, что рациональные числа счетны; то есть их можно поставить в однозначное соответствие с натуральными числами 1, 2, 3,… (Я объясню стоящие за этим идеи и терминологию чуть позже.) Если бы на свете существовал только один размер бесконечности, этот результат был бы очевиден, но он вскоре обнаружил доказательство того, что действительные числа несчетны. Об этом он опубликовал статью в 1874 г. – год, очень важный для Кантора в личном плане, поскольку именно тогда он женился на Вали Гутман; в этом браке у них родилось шестеро детей.

В поисках бесконечности еще большей, чем бесконечность действительных чисел, Кантор подумал о множестве всех точек в единичном квадрате. Ведь должен же квадрат с его двумя измерениями иметь больше точек, чем действительная прямая? Кантор высказал свое мнение в письме к Дедекинду:

Можно ли поверхность (скажем, квадрат, включающий его границы) однозначно соотнести с линией (скажем, отрезком прямой, включающим граничные точки) так, чтобы каждой точке на поверхности соответствовала точка на линии, и наоборот, каждой точке на линии соответствовала точка на поверхности? Я думаю, что ответить на этот вопрос было бы непростой задачей, несмотря на то что ответ представляется настолько очевидным «нет», что доказательство кажется почти ненужным.

Вскоре, однако, он обнаружил, что ответ вовсе не так очевиден, как ему казалось. («Доказательство кажется ненужным» для математика – как красная тряпка для быка, и он должен был бы понимать, чем это чревато.) В 1877 г. Кантор доказал, что на самом деле такое соответствие существует. «Я вижу это и не верю своим глазам!» – писал он. Но, когда он представил статью об этом в престижный «Журнал чистой и прикладной математики» (Journal für die reine und angewandte Mathematik), Леопольда Кронекера – блестящего, но ультраконсервативного математика и корифея того времени – его доводы не убедили, и лишь благодаря вмешательству Дедекинда статья была принята и опубликована. Кантор, в какой-то мере оправданно, никогда больше не подавал статьи в этот журнал. Вместо этого в период между 1879 и 1884 гг. он, вероятно под влиянием Феликса Клейна, отправлял основную массу своих работ по теории множеств и трансфинитным числам в журнал «Математические анналы» (Mathematische Annalen).

* * *

Прежде чем продолжить рассказ о Канторе, нам необходимо понять революционную природу его идей, а также разобраться, в первом приближении, что они собой представляют.