|
А теперь мы построим такое число, которого в этом списке нет. Определим последовательные десятичные знаки, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>… действительного числа x следующим образом:
Если a<sub>1</sub> = 0, пусть x<sub>1</sub> = 1, в противном случае пусть x<sub>1</sub> = 0. Если b<sub>2</sub> = 0, пусть x<sub>2</sub> = 1, в противном случае пусть x<sub>2</sub> = 0. Если c<sub>3</sub> = 0, пусть x<sub>3</sub> = 1, в противном случае пусть x<sub>3</sub> = 0. Если d<sub>4</sub> = 0, пусть x<sub>4</sub> = 1, в противном случае пусть x<sub>4</sub> = 0. Будем продолжать этот процесс до бесконечности, приравнивая x<sub>n</sub> либо к 0, либо к 1, так что x<sub>n</sub> всегда отличается от n-го десятичного знака действительного числа, соответствующего n. По построению x отличается от любого числа в нашем списке. От первого числа оно отличается в первом знаке, от второго – во втором; в общем, это число отличается от n-го числа в n-м десятичном знаке, а значит, отличается от n-го числа, каким бы оно ни было. Однако мы предполагали, что список существует и что любое действительное число в нем имеется. Это противоречие; получается, что такого списка не существует, следовательно, множество действительных чисел несчетно. Аналогично строится и другое открытие Кантора, в которое он сам поверил с трудом: что плоскость имеет ту же мощность, что и действительная прямая. Точка на плоскости имеет координаты (x, y), где x и y – действительные числа. Ограничимся, для простоты, единичным квадратом; тогда x и y в десятичной записи выглядят так: x = 0, x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> x<sub>3</sub> x<sub>4</sub>… y = 0, y<sub>1</sub> y<sub>2</sub> y<sub>3</sub> y<sub>4</sub>… Поставим этой паре в соответствие точку на прямой, в координатах которой десятичные знаки x и y стоят попеременно, вот так: 0, x<sub>1</sub> y<sub>1</sub> x<sub>2</sub> y<sub>2</sub> x<sub>3</sub> y<sub>3</sub>… Поскольку мы можем, глядя на это число, восстановить x и y, отобрав только последовательные цифры на четных или нечетных позициях, такой метод позволяет нам получить взаимно однозначное соответствие между единичным квадратом и единичным отрезком действительной прямой. Несложно расширить этот вывод на всю плоскость и всю числовую прямую. (Необходимо позаботиться о некоторых формальностях, которые я опустил, чтобы разобраться с неоднозначностью десятичного представления числа.) Был один вопрос, который Кантор никак не мог разрешить ни так, ни этак. Существует ли трансфинитное множество, мощность которого лежала бы строго между ℵ<sub>0</sub> и мощностью множества действительных чисел? Кантор считал, что нет; он не смог отыскать такое множество, хотя пробовал на эту роль немало правдоподобных кандидатов. Это предположение получило известность как гипотеза о континууме, или континуум-гипотеза. За дальнейшим ее развитием мы проследим в главе 22.
* * * На протяжении десяти лет после 1874 г. Кантор все свои усилия сосредоточил на теории множеств; он открыл значение взаимно однозначных соответствий в основании числовой системы и расширил принципы счета на трансфинитные числа. Его работа была настолько оригинальна, что многие современники Кантора были не в состоянии принять ее или поверить в ее значимость. Его математическую карьеру подпортил Кронекер, которому революционные идеи Кантора показались негодными с философской точки зрения. «Целые числа создал Господь Бог, все остальное – дело рук человеческих», – говорил Кронекер. |
