Если n обозначает любое число любого размера, тогда n-плекс обозначает 10 в степени n, что означает единицу с n нулями. Так что 10 в степени 2 это 100, 10 в шестой степени это 1000 000, миллион; 10 в девятой степени это миллиард. Когда степень равна 100, то мы получает гугл. Таким образом гуглплекс можно описать как 10 в степени гугл.

Подобно Кантору можно легко представить 10 в степени бесконечность. Но давайте быть точнее: как быть с алеф в степени ноль? Что такое 10 в степени алеф-ноль?

Примечательно что оно имеет совершенно разумное значение. Это кардинальное число множества всех действительных чисел — чисел которые могут быть представлены в виде бесконечной десятичной дроби. Вспомним эфебского философа Фтагонала, который знаменит высказыванием «Диаметр делит окружность. тогда соотношение должно равняться трём. Но так ли это? Нет. Три, запятая, один, четыре и куча других цифр после запятой. И нет числа этим чёртовым числам.» Конечно это отсылка к самому знаменитому из вещественных чисел — числу Пи, которое нуждается в бесконечном количестве знаков после запятой, чтобы оценить его точность. Округлённое до одного знака после запятой, оно равно 3,1. Округлённое до двух знаков после запятой оно равно 3,14. До трёх — 3,141. Так до бесконечности.

Кроме Пи, существует множество других вещественных чисел. Насколько велико фазовое пространство всех вещественных чисел?

Подумайте о знаках после запятой. Если мы рассматривает один знак, то для него есть 10 возможных вероятностей: любое из чисел от 0 до 9. Если мы рассматриваем два знака после запятой, то для него есть 100 вероятностей: от 00 до 99. Если мы рассматриваем три знака после запятой, тогда для него существует 1000 вероятностей: от 000 до 999.

Закономерность понятна. Если мы рассматриваем n знаков после запятой, тогда существует 10 в степени n вероятностей. А это n-плекс.

Если знаки после запятой могут продолжаться «вечно», первым делом нужно спросить какого вида «вечность» имеется ввиду. И ответом является алеф-ноль Кантора, потому что в нём есть первый знак после запятой, второй, третий. эти места соответствую целым числам. Так что если всё множество чисел n равно аллеф-нолю, мы обнаружим, что кардинальное число этого множества всех вещественных чисел (не принимая внимания знаки после запятой) равно 10 в степени алеф-ноль. То же самое верно в силу более сложных причин, если мы не будем учитывать все знаки после запятой.[24]

Всё отлично, но предположительно 10 в степени алеф-ноль окажется очень хорошо замаскированным алеф-нолём, поскольку все бесконечности должны быть равны? Нет, они не равны. Кантор доказал, что нельзя соотносить вещественный и целые числа. Так что 10 в степени алеф-ноль больше чем алеф-ноль.

Он пошёл дальше. Гораздо дальше. Он доказал[25], что поскольку n является любым бесконечным кардинальным числом, 10 в степени n является ещё большим кардинальным числом. Так что 10 в степени алеф-ноль ещё больше, а 10 в степени 10 в степени алеф-ноль ещё больше… и так далее.

Бесконечностям Кантона нет числа. И нет какой-то самой большой «гипербесконечности».

Понятие бесконечности как о «самом большом из возможным чисел» встречает здесь определённые трудности. И это разумный способ создать бесконечную серию арифметических рядов.

Если вы начнёте с любого кардинального алеф-n, тогда 10 в степени алеф-n ещё больше. Естественно предположить, в результате у вас получится алеф-(n+1) — это утверждение называется обобщённой континуум-гипотезой. В 1963 году Пол Коэн (не имеющий отношения ни к Джеку, ни к Коэну) доказал, что… ну это от много зависит. В некоторых вариациях теории множеств это утверждение является правдой, а в других оно ложно.

Таковы математические основы, вот почему лучше сначала построить дом, а только потом закладывать фундамент.