Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4² × 4³ = 4⁵ или 2⁴ × 2⁶ = 2¹⁰, и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что каждый раз правило сложения показателей степени, или экспонент, при умножении справедливо, разумеется, при том условии, что основания комплексных сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2⁴ × 2² × 2¹⁴ = 2²⁰, а 84 × 87 = 7308.

Это правило справедливо также и при делении, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 2⁵ : 2³ = 2², что в обычных числах равно 32 : 8 = 4, то есть 2².

С первого взгляда может показаться, что такой метод не очень удобен, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2³ и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8 × 9 — это 2³ × 3², и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2⁵ и ни 3⁵ не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.

До сих пор мы считали, что экспонента — это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты — это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить.

Например, 16 : 8 = 2. Поскольку 16 = 2⁴, а 8 = 2³, следовательно, деление можно в экспоненциальном виде записать как 2⁴ : 2³ = 2, но если мы будем вычитать экспоненты, то 2⁴ : 2³ = 2¹. Таким образом, нам приходится признать, что 2 и 2¹ — это одно и то же, следовательно, 2¹ = 2.

То же правило применимо и к любому другому экспоненциальному числу, таким образом, можно сформулировать правило в общем виде: любое число, возведенное в первую степень, остается без изменения. То есть 5¹ = 5, 27¹ = 27 и так далее.

Но дальше все становится сложнее. Чему равно 8 : 8? Конечно, единице. Но 8 = 2³, следовательно 2³ : 2³ = 1. Но если мы вычтем экспоненты, получим ноль 2³ : 2³ = 2⁰. Значит ли это, что 2⁰ = 1? Кажется, так оно и есть.

Этот вывод, возможно, привел вас в изумление. Еще можно как-то понять смысл выражения 2¹ = 2, хотя выражение «одно число два, умноженное само на себя» звучит достаточно странно.