|
2<sup>6</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 2<sup>5</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 2<sup>4</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 2<sup>3</sup> = 2 × 2 × 2 = 8 2<sup>2</sup> = 2 × 2 = 4 Теперь перемножим левый и правый столбики этих выражений, опустив средний столбик, то есть двойки, перемноженные сами на себя. Мы видим, что при уменьшении показателя степени на единицу результат уменьшается вдвое. Давайте продолжим этот столбик вниз, в направлении уменьшения экспоненты, и получим: 2<sup>1</sup> = 2 2<sup>0</sup> = 1 2<sup>-1</sup> = 1/2 2<sup>-2</sup> = 1/4 2<sup>-3</sup> = 1/8 Вы видите, что, когда экспонента меньше 2, срабатывает та же самая зависимость, причем аналогичное правило справедливо при любом основании экспоненциального выражения. Вы можете легко показать, что в случае экспоненциального числа с основанием 3 уменьшение экспоненты на 1 приводит к уменьшению результата в три раза, а в случае экспоненциального числа с основанием 6 уменьшение экспоненты на 1 приводит к уменьшению результата в шесть раз. Но при любом основании общее правило будет справедливо. Все вышесказанное означает, что у нас расширяются возможности для замены умножения на сложение. Теперь мы можем перемножить 1/8 на 1024 при помощи экспонент, однако мы пока еще не выяснили, как можно перемножить 7 и 17. Теперь мы знаем, что бывают как положительные, так и отрицательные экспоненты, и умеем с ними обращаться. А бывают ли дробные экспоненты? Прежде чем выяснить, что такое дробная экспонента, давайте разберемся с действием, обратным возведению в степень.
Глава 7 ДОКАПЫВАЕМСЯ ДО КОРНЕЙ
Мы с вами уже уяснили себе, что каждому математическому действию соответствует аналогичное, но обратное по направлению действие. Для сложения таким обратным действием является вычитание, для умножения — деление. Теперь попробуем выяснить, какое действие является обратным для возведения в степень. Поскольку возведение в степень — это многократное умножение, то, очевидно, обратным действием будет многократное деление. Например, 32 можно разделить на 2 и получить 16, затем 16 разделить на 2 и получить 8; затем 8 разделить на 2 и получить 4; затем 4 разделить на 2 и получить 2; наконец, затем 2 разделить на 2 и получить 1. В краткой форме эти действия можно записать как 32 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 = 1. (Как и в случае деления, которое мы изучали в третьей главе, наша задача заключалась в том, чтобы добраться до 1.) Поскольку мы произвели деление 5 раз и добрались до 1, то можно сказать, что 2 — это корень пятой степени из 32. Если мы рассмотрим число 81, то увидим, что 81 : 3 : 3 : 3 : 3 = 1, таким образом, 3 является корнем четвертой степени из 81. (Почему, собственно, корнем? Откуда взялось это слово? Это можно объяснить таким образом: число 32 растет из основания 2, а 81 — из основания 3 так же, как растение произрастает из корней.) Такая математическая операция обозначается как √. На разнообразие корней указывает число в верхней левой части корня. Так, корень пятой степени из 32 можно записать как <sup>5</sup>√32 . корень четвертой степени из 81 можно записать как <sup>4</sup>√81. Значок √ называется знаком радикала, а числа, содержащие корни, называются радикалами. Слово «радикал» пришло к нам из латыни, где оно означает просто «корень». Мы редко встречаемся с корнями высоких степеней, чаще всего приходится иметь дело с операциями, обратными возведению во вторую степень, то есть в квадрат. Извлечение корня второй степени называется извлечением квадратного корня, а <sup>2</sup>√ называется квадратным корнем, причем двойка слева часто опускается. |
