|
Но выражение 2<sup>0</sup> означает «ни одного числа два, умноженного само на себя», то есть кажется логичным, чтобы 2<sup>0</sup> равнялось нулю. Возможно, это и логично, но математики отнюдь не следуют правилам обычной повседневной логики. Вас это шокирует? Математики руководствуются общими закономерностями и необходимостью взаимной совместимости постулатов. Иными словами, математики могут принять самые невероятные правила, которые с обывательской точки зрения могут показаться просто безумными. Но эти правила не должны противоречить одно другому, какие бы результаты ни получались. Правило сложения и вычитания экспонент работает настолько хорошо, что если для того, чтобы его применять, необходимо, чтобы 2<sup>0</sup> = 1, значит, так и должно быть. Мы просто принимаем, что утверждение 2<sup>0</sup> = 1 верно.
Если мы будем не 2<sup>3</sup> делить на 2<sup>3</sup>, а 6<sup>3</sup> будем делить на 6<sup>3</sup>, то опять получим, что 6<sup>0</sup> = 1. Мы можем проверить одно число за другим, и каждый раз будем получать один и тот же результат: любое число в степени 0 равно 1. Пойдем дальше. При делении 64 на 128 мы получаем ответ 64/128, или 1/2. В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2<sup>6</sup>: 2<sup>7</sup>. Ответ 2<sup>-1</sup>, или 1/2 , или, в экспоненциальной форме, (1/2)<sup>1</sup>. Аналогично 32 : 128 = (1/4). В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2<sup>5</sup> : 2<sup>7</sup>. Ответ 2<sup>-2</sup>, или 1/4, или, в экспоненциальной форме, (1/2)<sup>2</sup>. Можно привести еще множество примеров, и каждый раз мы обнаружим, что отрицательная экспонента становится положительной при переходе к обратному числу. Другими словами, 4<sup>-7</sup>= (1/4)<sup>7</sup>, а 10<sup>-3</sup>= (1/10)<sup>3</sup>. Это правило справедливо для любых чисел. 6<sup>4</sup> = (1/6)<sup>-4</sup>. Я могу привести вам несколько примеров, которые продемонстрируют, что такое толкование понятия «экспонента» непротиворечиво. Давайте проверим, равны ли выражения 6<sup>-4</sup> и (1/6)<sup>4</sup>? Выражение (1/6)<sup>4</sup> можно представить в виде 1 : 6<sup>4</sup>. Но 1 равна 6<sup>0</sup>, таким образом, наше выражение приобретает вид 6<sup>0</sup> : 6<sup>4</sup>. Вычитаем экспоненты и получаем 6<sup>-4</sup>, как и следовало ожидать. А как доказать, что 6<sup>0</sup> действительно равно 1? Как по вашему, чему равно 36 × 1/36? Это очень просто: 36 × 1/36 = 1, это не вызывает никаких сомнений. Но 36 = 6<sup>2</sup>, тогда 1/36 = (1/6)<sup>2</sup> или 6<sup>-2</sup>. Теперь выражение 36 × 1/36 приобретает вид 6<sup>2</sup> × 6<sup>-2</sup>, и если мы сложим экспоненты, то получим 6<sup>0</sup>, то есть 1. Разумеется, наши примеры, строго говоря, не являются доказательствами. Математики назвали бы их просто круговыми рассуждениями. (Вот пример такого кругового доказательства. Вы утверждаете: «Кошкой называется любое животное, которое мяукает», и отсюда делаете вывод: «Животное, которое мяукает, называется кошкой».) Тем не менее эти примеры демонстрируют, что система операций с экспонентами является логичной. Мы можем продемонстрировать это и другим путем, например составив перечень некоторых экспоненциальных чисел. Начнем с иллюстрации хорошо известного определения чисел, которые перемножаются сами на себя. 2<sup>6</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 2<sup>5</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 2<sup>4</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 2<sup>3</sup> = 2 × 2 × 2 = 8 2<sup>2</sup> = 2 × 2 = 4 Теперь перемножим левый и правый столбики этих выражений, опустив средний столбик, то есть двойки, перемноженные сами на себя. |
