Но если число √2/1 не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая дробь, содержащая √2, например √2/2 или 4/√2, также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в √2/1, умноженное на какое нибудь число. Так, √2/2 = √2/1 × 1/2. Или √2/1 × 2 = 2√2/1, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на √2, и получить 4/√2. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число √2 , если мы умножим его на √2, то получим 2.)

Поскольку число √2 нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа. С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными. Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.

Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у тех чисел, входящих в ряд квадратных чисел, о которых мы говорили в шестой главе. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, √(1⁷/₉) является рациональным числом, так как √(1⁷/₉) = √16/√9 = 4/3 или 1¹/₃ (4 — это  корень квадратный из 16, а 3 — корень квадратный из 9).

Тот факт, что многие квадратные корни являются иррациональными числами, нисколько не умаляет их значения, в частности, число √2 очень часто используется в различных инженерных и научных расчетах. Это число можно вычислить с той точностью, которая необходима в каждом конкретном случае. Способ вычисления был описан ранее в этой главе, и вы можете получить это число с таким количеством знаков после запятой, на которое у вас хватит терпения.

Например, число √2 можно определить с точностью до шести десятичных знаков: √2 = 1,414214. Эта величина не очень сильно отличается от истинного значения, поскольку 1,414214 × 1,414214 = 2,000001237796. Этот ответ отличается от 2 на величину, едва превышающую одну миллионную. Поэтому значение √2, равное 1,414214, считается вполне приемлемым для решения большинства практических задач. В том случае, когда требуется большая точность, нетрудно получить столько значащих цифр после запятой, сколько необходимо в данном случае.

Однако если вы проявите редкостное упрямство и попробуете извлекать квадратный корень из числа 2 до тех пор, пока не добьетесь точного результата, вы никогда не закончите своей работы. Это бесконечный процесс. Сколько бы десятичных знаков после запятой вы ни получили, всегда останется еще несколько.

Этот факт может поразить вас так же сильно, как и превращение 1/3 в бесконечную десятичную дробь 0,333333333… и так бесконечно или превращение 1/7 в 0,142857142857142857… и так далее бесконечно. На первый взгляд может показаться, что эти бесконечные десятичные дроби и иррациональные квадратные корни — это явления одного порядка, но это совсем не так. Ведь у этих бесконечных дробей есть дробный эквивалент, в то время как у √2 такого эквивалента нет. А почему, собственно? Дело в том, что десятичным эквивалентом 1/3 и 1/7, а также бесконечного числа других дробей являются периодические бесконечные дроби.

В то же время десятичный эквивалент √2 является непериодической дробью. Это утверждение справедливо также для любого иррационального числа.