Что же означает дробная экспонента? Например, выражение 16^3/2 — это то же самое, что (16³)^1/2, поскольку 3 × 1/2 = 3/2. Следовательно, 16^3/2 = √16³.

Или, обобщая, можно сказать, что в случае дробной экспоненты основание возводится в степень, равную числителю экспоненты, и из него извлекается корень, равный знаменателю экспоненты.

Следовательно, 2^567/235 — это корень 235-й степени из 2, возведенных в 567-ю степень.

Очевидно, такие дробные экспоненты очень громоздки. А нельзя ли перейти на десятичные дроби? Ведь мы помним, что 1/2 — это 0,5, так что вместо 4^1/2 можно написать 4^0,5. Любая десятичная экспонента имеет свое значение. Например, 2^5,175—это 2^207/40, поскольку 5,175 = 207/40. В свою очередь, число 2^207/40 получается при возведении 2 в степень 207 и извлечении из полученного результата корня 40-й степени. (Можно поменять местами операции. Если мы сначала извлечем из 2 корень 40-й степени, а затем возведем этот промежуточный результат в 207-ю степень, мы получим тот же окончательный результат. Это утверждение вы легко можете проверить на более простом примере, например на выражении 4^3/2. Квадратный корень из 4³— это √64, что равно 8. В то же время куб √4 равен 2³, что также равно 8.)

Значение выражения 2^207/40 (или любого другого выражения, где экспонента является целым, дробным, десятичным, положительным или отрицательным числом) может быть вычислено при помощи соответствующих математических методов. При этом вам не пришлось бы двести семь раз перемножать 2 или искать путем последовательных приближений корень сороковой степени. 2^207/40 = 36,126.

Эта величина приблизительная, поскольку 2^207/40 является иррациональным числом, как и большинство выражений с дробными или десятичными экспонентами. Десятичный эквивалент 2^207/40 — это бесконечная непериодическая дробь, но мы всегда можем получить столько десятичных знаков после запятой, сколько требуется в соответствии с требованиями по точности конкретных вычислений.

Используя любое число в виде основания экспоненциального выражения, мы можем составить соответствующее экспоненциальное выражение для любого другого числа. Теперь мы можем вернуться к моей задаче об умножении 7 × 17, которая возникла у нас еще в шестой главе. Число 7 можно представить как 2^2,81, как 3^1,77 или как 5^1,21 (существуют специальные методы для вычисления экспоненциальных эквивалентов), в то же время 17 равно 2^4,08, 3^2,58 или 5^1,76. Теперь задачу умножения можно свести к сложению: 7 × 17 = 2^2,81 × 2^4,08 = 2^2,81+4,08 = 2^6,89, или 3^1,77 × 3^2,58 = 3^4,35, или 5^1,21 × 5^1,76=  5^2,97. Все эти числа, 2^6,89,  3^4,35, 5^2,97, приблизительно равны между собой и приблизительно равны 119, это и есть ответ.

Конечно, было бы гораздо проще просто перемножить 7 × 17 вместо того, чтобы находить значения экспоненциальных выражений. Кроме того, вместо точного ответа мы получим приближенный. Однако посмотрим, что будет дальше. Возможно, этот метод окажется незаменимым. Обратим внимание на основания экспоненциальных выражений.