|
В семеричной системе то же самое выражение можно представить как (1 × 7<sup>-1</sup>) + (5 × 7<sup>-2</sup>), или 1/7 + 5/49, что равно 12/49 в десятеричной системе.
Теперь давайте выясним, как определить, сколько отдельных символов необходимо для каждой отдельной системы счета. Первое число, для которого требуется два символа, — это 10 (в любой системе). Для всех чисел, меньших 10, требуются отдельные и разные символы. Все числа, большие 10, можно записать, используя комбинации символов чисел, меньших 10. Это правило, очевидно, справедливо для десятеричной системы, с которой мы так хорошо знакомы. Можно ожидать, что в других системах это правило тоже справедливо (в чем мы можем убедиться на практике). Хорошо, теперь давайте выясним, чему равно значение выражения 10, например, в двенадцатеричной системе. Оно равно (1 × 12<sup>1</sup>) + (0 × 12<sup>0</sup>), или 12 + 0, или 12 в десятеричной системе. Аналогично в семеричной системе выражение 10 равно (1 × 7<sup>1</sup>) + (0 × 7<sup>0</sup>), или 7 + 0, или 7. Можно провести аналогичные операции и для других систем, и мы скоро убедимся, что в системе, основанной на каком-либо числе, выражение 10 соответствует именно этому числу. (В десятеричной системе 10, естественно, равно 10.) В двенадцатеричной системе нам нужны отдельные цифры для каждого числа, меньшего 12, то есть 12 различных цифр, включая ноль. В семеричной системе нам нужны отдельные цифры для каждого числа, меньшего 7, то есть 7 различных цифр, включая ноль. Это правило справедливо для всех счетных систем. Скажем, в системе счета, основанной на 28, нам понадобятся 28 различных цифр, включая ноль. Чтобы помочь вам глубже разобраться в этих правилах, я привожу таблицу символов для первых тридцати чисел в двенадцатеричной системе, в семеричной системе и в так хорошо нам знакомой десятеричной системе.
Для каждой счетной системы можно составить таблицы сложения и других арифметических действий. В двенадцатеричной системе 5 + 8 = 11, а 3 × 4 = 10. В семеричной системе 3 + 6= 12, а 5 × 3 = 21. Нам это может показаться странным, поскольку мы не используем подобные системы. Но если мы проводим все расчеты в рамках одной из таких систем, мы видим, что система также отвечает поставленным целям. Человечество остановилось на десятеричной системе по той простой причине, что на руках у человека десять пальцев, а вовсе не потому, что эта система более логична, чем любая другая. Однако в отдельных случаях и для конкретных целей может оказаться, что какая-то система счета является гораздо более функциональной, нежели другие. Это справедливо в случае системы, основанной на 2, то есть двоичной системы. Выражение 10 в двоичной системе равно 2 в десятеричной системе. Следовательно, в такой системе только две цифры, 0 и 1. На предыдущих страницах приведены символы для первых чисел такой системы и соответствующие эквиваленты десятеричной системы. Перевод числа из двоичной системы в десятеричную не составляет труда. Рассмотрим, например, выражение 11001 в двоичной системе. Оно эквивалентно (1 × 2<sup>4</sup>) + (1 × 2<sup>3</sup>) + (0 × 2<sup>2</sup>) + (0 × 2<sup>1</sup>) + (1 × 2<sup>0</sup>), или 16 + 8 + 0 + 0 + 1, или 25, что соответствует эквиваленту, приведенному в таблице. Этот процесс можно упростить, если принять во внимание, что число 2, возведенное в степень, умножается либо на 0, и тогда результат тоже будет равен нулю и его можно не учитывать, либо на 1, и тогда это просто 2, возведенное в какую-то степень. Таким образом, мы можем проставить порядковый номер справа налево, как это показано ниже маленькими цифрами: Каждое маленькое число — это степень числа 2, определяемая положением цифры в числе, представленном в двоичной системе. |
