Предположим, нам надо выразить в экспоненциальной форме число 3200. Мы можем использовать только целые числа, поэтому разобьем число 3200 следующим образом: (3 × 1000) + (2 × 100) или (3 × 10³) + (2 × 10²). Но гораздо удобнее в тех случаях, когда это возможно, пользоваться одной экспонентой. Этого можно добиться, используя десятичные дроби. Представим 3200 в виде 3,2 × 1000 (можете самостоятельно произвести умножение и проверить правильность этого утверждения) или 3,2 × 10³.

Можно, конечно, представить 3200 как 32 × 100, что в экспоненциальной форме даст 32 × 10². Можно выбрать такой вариант: 3200 = 0,32 × 1000 или 0,32 × 10⁴. Все эти выражения идентичны. Этот факт можно подтвердить, произведя операции умножения. Для каждого отдельного случая мы получим 3200. Но этот факт можно подтвердить, не производя операций умножения.

Предположим, надо умножить 40 на 50.

40 × 50 = 2000.

Теперь разделим один из сомножителей на 2, а другой умножим на 2. Получаем 20 × 100, или 80 × 25. И в том и в другом случае результат один и тот же, 2000. Предположим, мы умножаем один из сомножителей на 10, а другой делим на 10. Тогда мы получаем 4 × 500 или 400 × 5. И в том и в другом случае результат один и тот же, 2000.

Другими словами, при перемножении двух чисел их произведение не меняется, если один из сомножителей умножить на какое-то число, а другой разделить на это же самое число.

Теперь рассмотрим произведение 3,2 × 10³. Умножим 3,2 на 10 и разделим 10³ на 10. Как мы уже знаем, произведение от этого не изменится.

3,2 × 10 = 32. Разделим 10³ на 10 (или, что одно и то же, умножим на 10¹) и получим 10². Теперь произведение выглядит как 32 × 10², при этом его величина не изменяется.

Мы можем разделить 3,2 на 10 (получаем 0,32) и умножить 10³ на 10 (10⁴). В результате получаем 0,32 × 10⁴, при этом величина также не изменилась.

Мы видим, что выражения 0,32 × 10⁴, 32 × 10², 3,2 × 10³ являются одним и тем же числом. Тогда какой смысл менять одну форму на другую? С точки зрения корректности расчетов никакого смысла нет, а вот с точки зрения удобства проведения вычислений — безусловно есть. Целесообразно использовать такую форму экспоненциального выражения, когда неэкспоненциальная часть является числом от 1 до 10. В случае 32 × 10² неэкспоненциальная часть больше 10, в случае 0,32 × 10⁴ неэкспоненциальная часть меньше 1. В случае 3,2 × 10³ неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10, и это как раз та форма выражения, которая обычно используется.

Для чисел, меньших единицы, это правило также справедливо, за исключением деталей, касающихся экспоненциальной части. Например, рассмотрим число 0,0054. Его можно записать как 54 × 0,0001 или как 5,4 × 0,001. Каждое из этих выражений после перемножения даст один и тот же результат, 0,0054. В экспоненциальной форме это выглядит как 54 × 10^-4, 5,4 × 10^-3 или 0,54 × 10^-2.

Эти выражения также эквивалентны. Как и в предыдущем примере, мы можем умножить 5,4 на 10, 10^-3 разделить на 10. Деление 10^-3 на 10 равноценно умножению на 10^-1. Деление равноценно вычитанию одного показателя степени из другого (-3 - 1 = -4), то есть 10^-3 разделить на 10 равно 10^-3-1 или 10^-4.