Эту математическую загадку прислали мне Молой Де и Нирмалья Чаттопадхьяй, объяснившие простую, но умную идею, на которой все это основано. Сможете ли вы уподобиться Хемлоку Сомсу и раскопать этот секрет?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Загадка тридцати семи

Из мемуаров доктора Ватсапа

– Как любопытно! – заметил я, размышляя вслух.

– В мире много любопытного, Ватсап, – отозвался Сомс, дремавший, как мне казалось, в своем кресле. – Что именно вы имеете в виду?

– Я взял число 123 и повторил его шесть раз, – объяснил я.

– И получили 123123123123123123, – пренебрежительно сказал Сомс.

– Ну да, но я еще не закончил.

– Вы, несомненно, умножили это число на 37, – сказал великий детектив, вновь подрывая мою убежденность в том, что я могу сказать что-нибудь новое для него.

– Да! Умножил! И вот я получил… нет, Сомс, не прерывайте меня, пожалуйста… вот ответ… 4555555555555555551, и цифра 5 в нем повторяется много-много раз.

– И это любопытно?

– Без сомнения. Причем если один такой пример может быть случайным совпадением, то в данном случае все это не случайно. Нечто подобное происходит и в тех случаях, когда я беру не 123, а 234, или 345, или 456. Взгляните! – и я показал ему свои расчеты:

234234234234234234 × 37 = 8666666666666666658;

345345345345345345 × 37 = 12777777777777777765;

456456456456456456 × 37 = 16888888888888888872.

– И не только это: если я повторю 123, или 234, или 345, или 456 какое-то другое число раз и умножу это на 37, то в ответе опять же будет много-много повторений одной и той же цифры, а нарушения будут только по бокам.

– Я склонен думать, – пробормотал Сомс, – что структура числа 123, 234, 345 и т. д. не имеет значения. Другие числа вы пробовали?

– Я пробовал 124, и ничего не получилось. Взгляните:

124124124124124124 × 37 = 4592592592592592588.

– Цифры здесь повторяются блоками по три, но мне это не кажется удивительным – ведь и первое число имеет такую же структуру.

– 486 вы пробовали?

– Нет… ну вообще-то, поскольку с 124 не получается, мне не кажется… Ну хорошо, хорошо, – я вернулся к своему блокноту и записал новый расчет. – Как любопытно! – воскликнул я вновь, увидев ответ:

486486486486486486 × 37 = 1799999999999999982.

Вдохновленный новым успехом, я попробовал еще несколько случайных трехзначных чисел, выписывая их по несколько раз подряд и умножая на 37. Иногда результат содержал множество повторений одной и той же цифры, чаще нет. Я показал Сомсу результаты своей работы и признался:

– Я в недоумении.

– Загадка, несомненно, разрешится, – ответил Сомс, – если вы рассмотрите число 111.

Я записал

111111111111111111 × 37 = 4111111111111111107

и уставился на получившееся число. Минут через 20 Сомс поднялся, заглянул мне через плечо и иронично покачал головой.

– Нет-нет, Ватсап! Я не предлагал вам попробовать свой метод на числе 111.

– Ох. А я полагал…

– Сколько раз я говорил вам, Ватсап: «Никогда ничего не полагайте!» Да, на первый взгляд эта загадка связана с числом 37, но на самом деле это, как бы это сказать, побочный эффект. Я предлагал вам посмотреть, как число 111 соотносится с числом 37.

Ответ см.