7. Отсутствие равновесия в чистых стратегиях

В каждой из рассмотренных выше игр было минимум одно равновесие Нэша в чистых стратегиях. В некоторых играх, таких как в , было больше одного равновесия, тогда как в предыдущих разделах представлены игры ровно с одним. К сожалению, не все игры, анализируемые нами в процессе изучения стратегии и теории игр, будут иметь легко поддающиеся определению исходы, при которых игроки всегда выбирают одно конкретное действие в качестве равновесной стратегии. В данном разделе мы проанализируем игры, в которых отсутствует равновесие Нэша в чистых стратегиях и ни один из игроков не выбирает неизменно одну и ту же стратегию в качестве своего равновесного действия.

Выигрыши в игре с розыгрышем очков в теннисе соответствуют относительному количеству случаев, когда игрок выигрывает очко в той или иной комбинации обводящего удара и прикрывающей игры. Учитывая, что обводящий удар по линии сильнее удара по диагонали и что Эверт с большей вероятностью выиграет, если Навратилова попытается прикрыть не ту сторону корта, мы можем сформировать приемлемую систему выигрышей. Предположим, Эверт добьется успеха в 80 % обводящих ударов по линии, если Навратилова прикроет корт на случай удара по диагонали, и только в 50 % обводящих ударов по линии, если Навратилова прикроет корт на случай удара по линии. Точно так же Эверт добьется успеха в 90 % ударов по диагонали, если Навратилова прикроет корт на случай удара по линии. Эта доля результативных ударов выше, чем при попытке Навратиловой прикрыть корт на случай удара по диагонали — тогда Эверт выиграет очки только в 20 % случаев.

Очевидно, что доля побед Навратиловой в игре равна разности между 100 % и долей побед Эверт. Следовательно, это игра с нулевой суммой (хотя формально сумма выигрышей двух участниц составляет 100), поэтому мы можем представить всю необходимую информацию в таблице выигрышей, отобразив в каждой ячейке только выигрыш Эверт. На рис. 4.14 показана таблица выигрышей и доля побед Эверт в розыгрышах очков против Навратиловой в каждой из четырех возможных комбинаций их выбора стратегий.

Рис. 4.14. Отсутствие равновесия в чистых стратегиях

Правила решения игр с одновременными ходами говорят нам о том, что сначала следует попытаться найти доминирующие или доминируемые стратегии, а затем использовать анализ наилучшего ответа для поиска равновесия Нэша. Это полезное упражнение позволяет убедиться, что в данной игре нет доминирующих стратегий. Выполнив анализ наилучших ответов, мы приходим к выводу, что лучший ответ Эверт на стратегию ПЛ — стратегия ПД, а на стратегию ПД — стратегия ПЛ. Напротив, наилучший ответ Навратиловой на стратегию ПЛ — стратегия ПЛ, а на стратегию ПД — стратегия ПД. Ни в одной ячейке таблицы выигрышей равновесия Нэша нет, поскольку каждая теннисистка упорно пытается изменить свою стратегию. Например, начав с верхней левой ячейки таблицы, мы обнаружим, что Эверт предпочитает перейти от стратегии ПЛ к стратегии ПД, увеличив свой выигрыш с 50 до 90 процентов. Однако в левой нижней ячейке таблицы мы видим, что Навратилова считает разумным переключиться со стратегии ПЛ на ПД, увеличив свой выигрыш с 10 до 80 процентов. Как вы можете убедиться сами, аналогичным образом Эверт стремится изменить стратегии в нижней левой ячейке, а Навратилова — в верхней правой. В каждой ячейке таблицы одна участница неизменно старается изменить игру, поэтому мы можем бесконечно перемещаться в таблице по кругу в поисках равновесия.