a)

b)

c)

d)

S2. Для каждой из четырех игр, представленных в упражнении S1, определите, это игра с нулевой или с ненулевой суммой. Объясните логику своих рассуждений.

a) Для каждой стратегии, соответствующей строке таблицы, запишите минимальный выигрыш Ровены (худшее, что может с ней сделать Колин в данном случае). Для каждой стратегии, отображенной в столбце таблицы, запишите минимальный выигрыш Колина (худшее, что может с ним сделать Ровена в данном случае).

b) Для каждого игрока определите стратегию (или стратегии), которая обеспечивает ему лучший из этих худших выигрышей. Это и есть стратегия минимакса каждого игрока.

(Поскольку в данном случае речь идет об игре с нулевой суммой, наилучшие ответы игроков действительно подразумевают сведение выигрышей друг друга к минимуму, а значит, эти стратегии минимакса и есть равновесиями Нэша. Джон фон Нейман доказал существование минимаксного равновесия в играх с нулевой суммой в 1928 году, за двадцать лет до того, как Нэш обобщил эту теорию.)

S4. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях в следующих играх с ненулевой суммой. Опишите шаги, которые вы при этом предприняли.

a)

b)

c)

d)

a) Есть ли доминирующая стратегия у Ровены либо у Колина? Объясните, почему есть или нет.

b) Используйте метод итеративного исключения доминируемых стратегий, чтобы как можно больше уменьшить игру. Опишите порядок выполнения такого исключения стратегий и представьте урезанную форму игры.

c) Разрешима ли эта игра по доминированию? Объясните, почему да или нет.

d) Найдите в ней равновесие (или равновесия) Нэша.

S6. «Если у игрока есть доминирующая стратегия в игре с одновременными ходами, значит, он наверняка получит самый лучший исход». Это утверждение истинно или ложно? Обоснуйте свой вывод и приведите пример игры, иллюстрирующий ваш ответ.

S8. В университете решают, что построить — новую лабораторию или новый театр в кампусе. Факультет естественных наук предпочел бы новую лабораторию, а гуманитарных ратует за театр. Однако финансирование проекта (вне зависимости от того, каким он будет) возможно только в случае единодушной поддержки всего преподавательского состава университета. При возникновении разногласий ни один проект не получит дальнейшего продвижения и оба факультета останутся без нового здания и с наихудшим выигрышем. Собрания двух отдельных групп преподавателей, на которых решается вопрос о поддержке проекта, проходят одновременно, а выигрыши представлены в следующей таблице:

a) Каковы равновесия Нэша в чистых стратегиях в этой игре?

b) Какая из игр, представленных в данной главе, больше всего напоминает эту игру? Объясните логику своих рассуждений.

S9. Предположим, два участника игрового шоу, Алекс и Боб, каждый по отдельности выбирают двери с номерами 1, 2, 3. Оба игрока получают призы, если их выбор совпадает, как показано в следующей таблице:

a) Каковы равновесия Нэша в этой игре? Какое из них (при его наличии) скорее всего приведет к (фокальному) исходу игры? Обоснуйте свой вывод.

b) Рассмотрите несколько измененную игру, в которой варианты выбора — снова просто числа, но две ячейки таблицы с выигрышами 15, 15 теперь содержат выигрыши 25, 25. Какой ожидаемый (средний) выигрыш каждого игрока, если каждый из них подбросит монету, чтобы решить, выбрать вариант 2 или 3? Лучше ли это фокусировки на том, чтобы оба выбрали 1 в качестве фокального равновесия? Как вам следует учитывать риск того, что Алекс может сделать одно, а Боб — другое?

S10.