|
Единственным выходом из этого тупика кажется проведение еще большего числа испытаний, чтобы показать, как низка вероятность такого результата. В итоге мы попадаем в состояние, слишком напоминающее бесконечное движение по кругу.
К счастью, первые исследователи теории вероятностей не позволили этому логическому препятствию себя остановить. Как и в случае с исчислением, они знали, чего хотят и как этого добиться. Философские суждения были для них менее важны, чем поиск ответов на вопросы. Книга Бернулли содержала много важных идей и результатов. Один из них, закон больших чисел, показывает нам, в каком именно смысле долгосрочные наблюдения за пропорциями в испытаниях соответствуют вероятностям. Главным образом он доказывает следующее: вероятность того, что пропорция не будет близка к правильной вероятности, стремится к нулю при неограниченном росте количества испытаний.
ЧТО ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЛА ИМ В 1710 г. Джон Арбетнот представил в Королевское общество Великобритании статью, в которой с помощью теории вероятностей доказывал существование Бога. Он проанализировал ежегодное число крещений младенцев мужского и женского пола в 1629–1710 гг. и обнаружил, что мальчиков было немногим больше, чем девочек. Более того, эта разница оставалась практически неизменной каждый год. Этот факт был уже тогда хорошо известен, но Арбетнот вычислил вероятность того, что пропорция постоянна. Его результат получился очень маленьким: 2<sup>−82</sup>. Он указал, что если такой эффект наблюдается во всех странах, во все времена и у всех народов, то шанс был бы еще меньше. Из чего он сделал вывод, что всё происходит не по случайности, а благодаря божественному провидению. А в 1872 г. Фрэнсис Гальтон использовал теорию вероятностей для оценки действенности молитв исходя из того, что огромное число людей каждый день возносят молитвы о здоровье королевской семьи. Он собрал данные по «средней продолжительности жизни мужчин из различных сословий, проживших более 30 лет, от 1758 до 1843 г.», добавив, что «исключил смерти от несчастного случая». В его выборку вошли аристократы, королевская семья, духовенство, адвокаты, врачи, дворяне, купцы, офицеры армии и флота, деятели науки, литературы и искусства. Он обнаружил, что «властители буквально самые коротко живущие из всех состоятельных слоев общества. Таким образом, молитвы совершенно бесполезны, если только не прибегнуть к весьма спорной гипотезе, будто условия жизни королевской семьи настолько фатальны, что отчасти, хотя и не полностью, могут нейтрализовать эффект народных молитв». Другая базовая теорема может быть рассмотрена для случая повторных бросков бракованной (смещенной) монеты с вероятностью p для выпадения орла и q = 1 – p для выпадения решки. Если монету бросить дважды, какова будет вероятность того, что орел выпадет 2, 1 или 0 раз? Ответ Бернулли был p<sup>2</sup>, 2pq и q<sup>2</sup>. Таковы результаты при разложении выражения (p + q)<sup>2</sup> в p<sup>2</sup> + 2pq + q<sup>2</sup>. А если монету бросить три раза, вероятность того, что орел выпадет 3, 2, 1 или 0 раз, равна последовательности множителей в выражении (p + q)<sup>3</sup> = p<sup>3</sup> + 3p<sup>2</sup>q + 3q<sup>2</sup>p + q<sup>3</sup>. В более общем виде, если монету бросить n раз, вероятность выпадения орла m раз будет равна:
т. е. соответствующему члену в разложении (p + q)<sup>n</sup>. В 1730–1738 гг. Абрахам де Муавр продолжил опыты Бернулли со смещенной монетой. Когда m и n достаточно велики, трудно точно вычислить биномиальный коэффициент, и де Муавр вывел приблизительную формулу, соответствующую биномиальному распределению Бернулли, которое сейчас мы называем функцией ошибок или нормальным распределением:
Де Муавр заслуженно считается первым математиком, явно показавшим эту связь. |
