Любое топологическое пространство имеет фундаментальную группу, определенную в точности так же, с использованием поездок — или, точнее, петель, — которые начинаются и заканчиваются в одной точке. Пуанкаре придумал фундаментальную группу, чтобы доказать, что его додекаэдрическое пространство не является трехмерной сферой, хотя и имеет те же гомологические инварианты. Его первоначальный метод прекрасно приспособлен к вычислению фундаментальной группы. Более современный метод «скручивания и склеивания» приспособлен к нему еще лучше. Ответом оказывается группа из 120 элементов, связанная с додекаэдром. А вот фундаментальная группа трехмерной сферы, напротив, состоит лишь из одного элемента: нулевой петли. Так что додекаэдрическое пространство топологически не эквивалентно сфере, несмотря на одинаковые группы гомологий, и Пуанкаре доказал, что утверждение, сделанное им в 1900 г., ошибочно.

Пуанкаре продолжал рассуждать о своем новом инварианте: может быть, это и есть недостающий ингредиент топологической характеристики трехмерной сферы? А может, любое трехмерное пространство с той же фундаментальной группой, как у трехмерной сферы, т. е. с тривиальной группой, должно на самом деле быть трехмерной сферой? Он сформулировал это предположение как отрицание в виде вопроса: «Рассмотрим компактное трехмерное многообразие [топологическое пространство] V, не имеющее границы. Возможно ли, чтобы фундаментальная группа многообразия V была тривиальной, хотя V не есть трехмерная сфера [топологически не эквивалентно ей]?» Он оставил вопрос открытым, но очень правдоподобно мнение, что ответ при такой постановке вопроса очевиден — «нет». И вскоре это предположение получило известность как гипотеза Пуанкаре. И столь же быстро стало одним из самых знаменитых открытых вопросов топологии.

Фраза «тривиальная фундаментальная группа» означает, в сущности, что «любая петля может быть непрерывно преобразована в точку». Таким свойством обладает не только трехмерная сфера, но и любая аналогичная ей n-мерная сфера любой размерности n. Так что мы можем выдвинуть точно такое же предположение для сферы любой размерности. Такое утверждение известно как n-мерная гипотеза Пуанкаре. Это верно для n = 2, согласно теореме классификации для поверхностей. И это все, чего удалось достичь математикам за 50 с лишним лет.

В 1961 г. Стивен Смейл взял прием классификации поверхностей и применил его к более высоким измерениям. Один из способов представить себе тор с g отверстиями заключается в том, чтобы взять сферу и приделать к ней мысленно g ручек — точно таких, какие бывают у чайной чашки или кружки. Смейл обобщил это построение для любой размерности и назвал процесс разложением на ручки. Он проанализировал, как могут изменяться ручки при неизменной топологии пространства, и вывел гипотезу Пуанкаре во всех размерностях, больших или равных 7. Для более низких размерностей его доказательство не работало, но другие математики нашли способы с этим справиться: Джон Столлингс провел доказательство для размерности 6, а Кристофер Зиман — для 5. Однако один из существенных этапов доказательства, известный как трюк Уитни, упрямо отказывался работать в размерностях 3 и 4, потому что в таких пространствах просто не хватает места для необходимых маневров, и никто не мог найти эффективной замены этому приему. Постепенно сформировалось мнение о том, что топология пространств для этих двух размерностей может оказаться весьма необычной.

Это мнение, однако, было поколеблено в 1982 г., когда Майкл Фридман получил доказательство четырехмерной гипотезы Пуанкаре, для которого не требовался трюк Уитни.