|
В настоящее время эти геометрии известны как евклидова (это плоскость, на которой аксиома о параллельных прямых верна), эллиптическая (геометрия на поверхности сферы с некоторыми финтифлюшками: здесь две прямые всегда пересекаются, а параллельной прямой не существует) и гиперболическая геометрия (где некоторые прямые не пересекаются, а параллельная прямая не единственна). Более того, классические математики интерпретируют эти геометрии как геометрии искривленных пространств. Евклидова геометрия соответствует нулевой кривизне, эллиптическая/сферическая геометрия — постоянной положительной кривизне, а гиперболическая геометрия — постоянной отрицательной кривизне.
Мы только что видели, как можно получить две из трех перечисленных геометрий: они возникают на сфере и на плоском торе. В терминах теоремы классификации это торы рода g для g = 0 и 1. Единственное, чего у нас пока не хватает, это гиперболической геометрии. Может быть, каждый тор с g дырками обладает естественной геометрической структурой, основанной на том, что в гиперболическом пространстве взяли некий многоугольник и отождествили у него некоторые стороны? Ответ поразителен: «да» для любой величины g, большей или равной 2. На рис. 40 показан пример для g = 2 на основе восьмиугольника. Я опущу гиперболическую геометрию и идентификацию этой поверхности как двумерного тора, но скажу, что разобраться в этом можно. Различные g возникают, если мы берем разные многоугольники, но исключений нет — можно получить любой g. Используя профессиональную лексику, скажем, что тор с двумя и более дырками имеет естественную гиперболическую структуру. Теперь можно пересмотреть список стандартных поверхностей: • сфера: g = 0 — эллиптическая геометрия; • тор: g = 1 — евклидова геометрия; • тор с g дырками: g = 2, 3, 4… — гиперболическая геометрия.
Может показаться, что мы выплеснули с водой и ребенка, ведь топология должна иметь дело с геометрией на резиновом листе, а не с жесткой геометрией. Но теперь мы легко можем вернуть резину на место. Жесткая геометрия используется здесь только для того, чтобы определить стандартные поверхности. Она позволяет дать простые описания, которые оказываются еще более жесткими. А теперь ослабим жесткость, т. е. позволим пространству стать резиновым и разрешим деформироваться, что невозможно при жесткой структуре. При этом мы получим поверхности, топологически эквивалентные стандартным, но не получаемые из них путем жестких сдвигов. Согласно теореме о классификации, таким образом можно получить любую топологическую поверхность.
Топологи знали о существовании такой связи между геометрией и теоремой о классификации поверхностей, но в то время она представлялась забавным совпадением, дающим, несомненно, весьма ограниченные возможности в двух измерениях. Все понимали, что трехмерный случай намного богаче и, в частности, пространствами постоянной кривизны его возможности не исчерпываются. Но понять, что жесткая геометрия может оказаться полезной при рассмотрении трехмерной топологии, сумел лишь Уильям Терстон — один из лучших геометров мира. Несколько указаний на это уже имелось: трехмерная сфера Пуанкаре, исходя из ее определения, обладает естественной эллиптической/сферической геометрией. Хотя стандартный додекаэдр обитает в евклидовом пространстве, угол между его смежными гранями меньше 120°, так что три таких угла не образуют полной окружности. Чтобы исправить это, нам придется слегка надуть додекаэдр, чтобы его грани стали немного выпуклыми: это сразу превращает естественную геометрию фигуры из евклидовой в сферическую. Аналогично, треугольники на сфере тоже становятся выпуклыми. Трехмерный тор, полученный путем отождествления противоположных граней куба, обладает плоской, т. |
