|
Затем главное — показать, что по мере того, как решетка становится все мельче, постепенно приближаясь к сплошной среде, этот аналог сходится к четко определенному математическому объекту. На основании физической интуиции можно сделать вывод о некоторых необходимых его свойствах, и если бы эти свойства удалось установить строго, то можно было бы доказать и существование подходящей квантовой теории Янга — Миллса. Гипотеза о массовой щели требует более детальных представлений о том, как решетчатые теории аппроксимируют эту гипотетическую теорию Янга — Миллса. Так что существование этой теории и гипотеза массовой щели тесно взаимосвязаны.
На этом этапе все и застопорилось. В 2004 г. Майкл Дуглас составил отчет о состоянии проблемы, в котором написал: «Насколько мне известно, в последние годы в этом вопросе не было никаких прорывов. В частности, хотя в области теорий поля для низких размерностей достигнут некоторый прогресс, мне неизвестно, о каком бы то ни было существенном прогрессе в строительстве математически строгой квантовой теории Янга — Миллса». Судя по всему, это утверждение справедливо до сих пор. В некоторых смежных задачах, однако, наблюдался более впечатляющий прогресс, и не исключено, что это поможет пролить свет и на интересующий нас вопрос. Частные случаи квантовой теории поля, известные как двумерные сигма-модели, разрешимы легче, и для одной такой модели гипотеза массовой щели уже доказана. Суперсимметричные квантовые теории поля, в которых фигурируют гипотетические суперпартнеры обычных элементарных частиц, отличаются некоторыми математическими свойствами, которые по существу, делают перенормировку ненужной. Физики, такие как Эдвард Уиттен, продвигаются к решению соответствующих задач в суперсимметричном случае. Можно надеяться, что некоторые из разработанных ими методик, возможно, подскажут новые пути решения первоначальной задачи. Но каковы бы ни были физические следствия и как бы ни разрешился в конце концов вопрос существования массовой щели, наработки, уже сделанные в этой области, безусловно, обогатили математику новыми важными понятиями и инструментами.
14. Диофантовы мечты. Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера
В главе 7 мы уже встречались с «Арифметикой» Диофанта, и я упоминал о том, что 6 из 13 ее книг дошли до нас в греческих копиях. Примерно в 400 г. н. э., когда древнегреческая цивилизация уже давно находилась в упадке, лидерство в математической науке захватили Аравия, Китай и Индия. Арабские ученые перевели классические греческие работы, и сегодня мы знаем многие из них лишь по этим переводам. Именно в арабском мире развивались идеи Диофанта. Четыре арабские рукописи, найденные в 1968 г., могут быть переводами неизвестных до сих пор книг «Арифметики». В какой-то момент в конце X в. персидский математик аль-Караджи задал вопрос, который, вполне возможно, приходил в голову и самому Диофанту: какие целые числа могут возникать в качестве одинаковой разности между тремя рациональными квадратами, образующими арифметическую последовательность? К примеру, целые квадраты 1,25 и 49 имеют общую разность 24. Иными словами, 1 + 24 = 25 и 25 + 24 = 49. Аль-Караджи жил примерно между 953 и 1029 гг., и он, в принципе, мог иметь доступ к списку «Арифметики», однако первый известный перевод сделал Абу-л-Вафа в 998 г. Леонард Диксон, автор краткой истории теории чисел в трех томах, предположил, что эта задача могла возникнуть незадолго до 972 г. в арабской рукописи неизвестного автора. На алгебраическом языке задача звучит так: для каких целых d существует рациональное число x такое, что x — d, x и x + d являются полными квадратами? Ее можно сформулировать и иначе, хотя эквивалентность формулировок неочевидна: какие целые числа могут представлять собой площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами? Иными словами, если a, b и c рациональны и a² + b² = c², то какие целые значения возможны для величины ab/2? Целые числа, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, называют конгруэнтными. |
