Иногда новые математические идеи получают практическое применение почти сразу. Иногда этот процесс занимает не одно столетие. Быть может, в последнем случае лучше было бы подождать, пока возникнет нужда в этих идеях, а затем ударными темпами провести их разработку? Быть может, все математические задачи, не имеющие немедленного и очевидного применения, следует откладывать в дальний ящик на будущее? Однако если бы мы так поступали, то всегда отставали бы от жизни, поскольку математики уже несколько сотен лет играют в догонялки с прикладной наукой. Да и не всегда можно точно сказать, какая идея необходима в данный момент. Как вы думаете, понравилось бы вам, если бы никто даже не задумался о производстве кирпичей, пока вы не пригласили бы рабочих для строительства дома? Чем оригинальнее математическая концепция, тем более маловероятно, что она родится в результате ударной разработки.

Куда разумнее было бы позволить математической науке развиваться по собственным законам и не ждать от нее немедленной пользы. Не пытайтесь выбирать лучшее, позвольте ей расти свободно. Математики стоят недорого: им, в отличие от физиков-экспериментаторов, не нужно дорогостоящее оборудование (на Большой адронный коллайдер уже потрачено €7,5 млрд, и расходы растут). Кроме того, в качестве компенсации математики обучают студентов. И вряд ли было бы разумно не разрешить некоторым из них работать над гипотезой Ходжа, если эта проблема их захватила.

Я планирую разобрать приведенную формулировку гипотезы Ходжа слово за словом. Простейшая из встречающихся в ней концепций — «алгебраическое многообразие». Это естественное следствие декартова подхода, когда тот при помощи координатной сетки связал геометрию с алгеброй (см. главу 3). При этом крохотный набор инструментов-кривых, введенный Евклидом и его последователями, — прямая, окружность, эллипс, парабола, гипербола — превратился в бездонный рог изобилия. Прямая линия — основа евклидовой геометрии — представляет собой совокупность точек, удовлетворяющих соответствующему алгебраическому уравнению: к примеру, y = 3x + 1. Замените тройку и единицу на другие числа — и получите другие прямые линии. Окружности нуждаются в квадратных уравнениях — как и эллипсы, параболы и гиперболы. В принципе, все, что можно определить геометрически, можно интерпретировать и иначе — алгебраически, — и наоборот. Так что, система координат делает геометрию ненужной? Или, может быть, она делает ненужной алгебру? Зачем пользоваться двумя инструментами, если оба они делают одно и то же?

У меня в гараже в ящике с инструментами есть и молоток, и клещи. Дело молотка — забивать в дерево гвозди. Дело клещей — вытаскивать их оттуда. Хотя, в принципе, гвозди можно забить и клещами, а у молотка с обратной стороны есть раздвоенный конец, предназначенный специально для выдергивания гвоздей. Зачем же мне оба инструмента? Затем, что одни вещи лучше делать молотком, а другие — клещами. Так же обстоит дело с алгеброй и геометрией: одни подходы более естественно реализуются при помощи геометрии, другие — при помощи алгебры. Главное — связь между ними. Если алгебраическое мышление буксует, переключайтесь на геометрию.

Координатная геометрия предлагает новую свободу выдумывать кривые. Просто напишите уравнение — и смотрите на его решения. Если ваше уравнение не слишком глупое, вроде x = x, должна получиться кривая. (Решениями уравнения x = x является вся координатная плоскость.) К примеру, я мог бы записать уравнение x³ + y³ = 3xy, решения которого можно увидеть на рис. 45. Эта кривая — декартов лист, и вы не найдете ее у Евклида. Ассортимент новых кривых, которые может выдумывать каждый, буквально бесконечен.

Математики всегда стремятся к обобщениям — это рефлекс, он включается автоматически.