Математики всегда стремятся к обобщениям — это рефлекс, он включается автоматически. Стоит кому-нибудь натолкнуться на интересную идею, и тут же все задаются вопросом: возможно ли что-нибудь подобное в более общем случае? Идея Декарта, в частности, имеет по крайней мере три серьезных варианта обобщения, или модификации, и все они необходимы для понимании гипотезы Ходжа.

Во-первых, что происходит, если мы работаем с пространствами, отличными от плоскости? Трехмерное евклидово пространство имеет три координаты (x, y, z) вместо двух. В пространстве одно уравнение, как правило, определяет поверхность, а два уравнения — кривую, по которой поверхности пересекаются. Три уравнения, как правило, определяют точку. (Говоря «как правило», я имею в виду, что бывают и исключения, но они очень необычны и удовлетворяют особым условиям. Что-то подобное мы видели на плоскости в случае того самого «глупого» уравнения x = x.)

Здесь мы опять же можем придумывать новые уравнения и тем самым определять новые поверхности или кривые, которых нет у Евклида. В XIX в. это было модным занятием. Можно было даже опубликовать статью про новую поверхность, если у вас было что сказать о ней — что-нибудь по-настоящему интересное. В качестве типичного примера можно вспомнить поверхность, представленную Куммером в 1864 г., с уравнением

На рис. 46 представлен соответствующий график. Самое интересное в нем — 16 «двойных точек», где поверхность напоминает поверхности двух конусов, соединенных вершина к вершине. Как раз 16 — максимально возможное число таких точек для поверхности четвертого порядка, т. е. поверхности, описываемой уравнением четвертой степени. Это обстоятельство показалось достаточно интересным для публикации.

К XIX в. математики успели познать пьянящие радости пространств высоких измерений. Нет нужды останавливаться на трех координатах; почему не попробовать четыре, пять, шесть… миллион? И это не пустопорожние рассуждения. Это алгебра множества уравнений с множеством переменных, а они всплывают то и дело в самых разных точках математического ландшафта. К примеру, они упоминались в главе 5 (гипотеза Кеплера) и главе 8 (задача трех тел). Не идет речь и о пустых искусственных обобщениях: возможность размышлять о подобных вещах не только алгебраически, но и геометрически — мощный инструмент, который нет смысла ограничивать двумя или тремя измерениями просто потому, что только в таких пространствах мы можем рисовать картинки и строить модели.

Слово «измерение» может казаться внушительным и загадочным, но в данном контексте его значение вполне прозрачно: сколько вам нужно координат. К примеру, в четырехмерном пространстве четыре координаты (x, y, z, w), и в математическом смысле этого достаточно для определения. В четырех измерениях единственное уравнение обычно определяет трехмерную «гиперповерхность», два уравнения — поверхность (два измерения), три уравнения — кривую (одно измерение), а четыре — точку (нуль измерений). Каждое новое уравнение расправляется с одним измерением, т. е. с одной переменной. Так что мы можем предсказать, что в пространстве 17 измерений 11 уравнений определяют шестимерный объект, за исключением редких (и легко опознаваемых) случаев, когда некоторые из уравнений избыточны.

Объект, определенный таким образом, называется алгебраическим многообразием. В русском языке слово «многообразие» употребляется и в топологии, и в дифференциальной геометрии (топологии пополам с дифференциальным исчислением), и в алгебраической геометрии. В некоторых других языках традиционно существует два различных термина (в частности, в английском языке используются слова manifold и variety).