При подсчете количества решений полиномиального уравнения иногда бывает удобно учесть одну и ту же точку несколько раз. Можно сказать, что совокупность решений состоит из множества точек, за каждой из которых мы «закрепляем» число, соответствующее его кратности. Можно, к примеру, иметь решения 0, 1 и 2 с кратностью 3, 7 и 4 соответственно. Многочлен в этом случае будет x³(x − 1)⁷(x − 2)⁴, если вам это интересно. Каждая из трех точек x = 0, 1 или 2 является (достаточно тривиальным) подмногообразием множества комплексных чисел. Поэтому решения этого полиномиального уравнения можно описать как список из трех подмногообразий с прикрепленным к каждому из них целым числом (вроде этикетки).

Алгебраический цикл выглядит примерно так же. Вместо отдельных точек мы можем использовать любой конечный список подмногообразий, присоединив к каждому из них числовую метку, не обязательно целую. Меткой может быть отрицательное целое число, рациональное число, действительное или даже комплексное число. По разным причинам в гипотезе Ходжа в качестве меток используются рациональные числа, о чем свидетельствует формулировка «рациональная линейная комбинация». К примеру, в качестве первоначального многообразия может выступать единичная сфера в 11-мерном пространстве; тогда список, о котором идет речь, мог бы выглядеть так:

• семимерная гиперсфера (задаваемая такими-то уравнениями) с меткой 22/7;

• тор (задаваемый такими-то уравнениями) с меткой −4/5;

• кривая (задаваемая такими-то уравнениями) с меткой 413/6.

Не пытайтесь это представить или, если очень захочется, нарисуйте картинку в стиле комикса: три бесформенные кляксы с надписями. Каждая такая картинка, каждый список представляет один алгебраический цикл.

К чему устраивать такой шум и изобретать подобные абстракции? К тому, что они отражают самые существенные аспекты первоначального алгебраического многообразия. Специалисты по алгебраической геометрии заимствуют методы у топологов.

В главе 10, где речь шла о гипотезе Пуанкаре, мы говорили о муравье, вселенной которого является поверхность. Как может муравей определить форму своей вселенной, если он не в состоянии отойти в сторонку и посмотреть? В частности, как он сможет отличить сферу от тора? Представленное в той главе решение предусматривало использование замкнутых кривых — топологических автобусных маршрутов. Муравей перемещает эти петли по всей поверхности, выясняет, что происходит, если поставить их одну за другой — концом к началу, и вычисляет алгебраический инвариант пространства, известный как его фундаментальная группа. Слово «инвариант» означает, что топологически эквивалентные пространства имеют одну и ту же фундаментальную группу. Если группы различны, то различны и пространства. Именно этот инвариант привел Пуанкаре к его гипотезе. Однако бедному муравью непросто проверить все возможные в его вселенной маршруты, и это замечание отражает реальные математические тонкости в расчетах фундаментальных групп. Существует и более практичный инвариант, Пуанкаре его тоже исследовал. Процесс перемещения петель по поверхности называется гомотопией; альтернативный вариант называется похоже, но иначе — гомологией.

Я покажу вам простейший, самый конкретный вариант гомологии. Топологи быстро развили этот вариант, оптимизировали и обобщили его, превратив в мощнейшую математическую машину, которая получила название «гомологическая алгебра». Этот простой вариант позволит вам лишь слегка почувствовать, как все это работает, но ведь нам ничего больше и не нужно.