Ни один из перечисленных шагов не был простым или очевидным. Уже после того, как основные идеи были высказаны, потребовалось еще около 100 лет, чтобы окончательно доработать доказательство. Математики, бившиеся над этой задачей, были лучшими умами своего времени, а по крайней мере один из них входит в число величайших умов всех времен. Решение подобных задач помимо глубокого понимания математики требует настойчивости и изобретательности. Иногда на это уходят годы сосредоточенных усилий, на первый взгляд, по большей части бесплодных. Но представьте, что чувствует математик, когда его настойчивость приносит плоды, и ему наконец удается расколоть крепкий орешек, над которым человечество билось не один век. Как сказал президент Джон Кеннеди в 1962 г. в одной из речей, посвященных Лунной программе, «мы решили… это сделать… не потому, что это просто, а потому, что это сложно».

Мало что в математике имеет конец, и история числа π — не исключение. И сегодня время от времени появляются поразительные новые открытия, имеющие к нему отношение. В 1997 г. Фабрис Беллар объявил, что триллионная цифра числа π в двоичном выражении — единица. Замечательным это заявление делает не собственно факт. Поразительно то, что он не вычислял ни одной из предыдущих цифр. Он просто извлек одну конкретную цифру, что называется, из воздуха.

Такой расчет оказался возможен благодаря любопытной формуле для π, которую открыли Дэвид Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плафф в 1996 г. Она может показаться несколько сложноватой, но все же посмотрим:

Большой знак ∑ означает «просуммировать» на заданном диапазоне. Здесь n изменяется от 0 до бесконечности (∞). На самом деле Беллар пользовался формулой, которую вывел сам с использованием аналогичных методов и расчет по которой ведется чуть быстрее:

Ключевая особенность этих формул в том, что многие из используемых в них чисел — 1, 4, 32, 64, 256, а также 2⁴ⁿ и 2¹⁰ⁿ — являются степенями двойки, что, конечно, сильно упрощает расчеты в двоичной системе, которая используется для внутренних операций в компьютерах. После этого открытия хлынул целый поток новых формул для π и некоторых других интересных чисел. Рекорд вычисления одиночных двоичных цифр числа π обновляется регулярно: в 2010 г. Николас Ши из Yahoo рассчитал двухквадрильонную двоичную цифру π, которой оказался 0.

При помощи тех же формул можно находить отдельные цифры числа π в арифметических операциях с основаниями 4, 8 и 16. Ни для каких других оснований ничего подобного не известно; в частности, мы не можем вычислять десятичные цифры по отдельности. Существуют ли в принципе такие формулы? До открытия формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа никому даже в голову не приходило, что можно это делать хотя бы в двоичной системе.

4. Загадки картографии. Теорема о четырех красках

Многие великие задачи уходят корнями в глубокие и сложные вопросы давних и хорошо известных областей математики. Это те случаи, когда серьезные препятствия вдруг возникают уже после того, как эта область была тщательно изучена. Они, как правило, имеют технический характер, и все заинтересованные лица заранее знают, что они очень сложны, — еще бы, ведь многие специалисты пытались одолеть их и потерпели неудачу. При этом для соответствующей области часто уже разработаны множество мощных методик и объемный математический аппарат, которым может воспользоваться всякий подготовленный человек, но при этом, если задача до сих пор не решена, значит, все очевидные способы воспользоваться этими методиками уже испробованы и не сработали.