|
На следующий день я обошел моих коллег по математическому факультету и пригласил их заглянуть ко мне в кабинет и посмотреть, все ли в порядке с найденным мной накануне решением. С решением все было в порядке. Я был вне себя от возбуждения. Это был самый важный момент за всю мою математическую карьеру. Ничто из того, что мне суждено свершить, не могло сравниться с переживаемым моментом».
Момент действительно был необычайно важным: не только исполнилась мечта детства Уайлса, не только достигнута кульминация восьми лет напряженнейшей работы, но и сам Уайлс, казалось, находившийся на грани поражения, еще раз заявил о себе как о выдающемся математике. Последние четырнадцать месяцев были особенно мучительным, унизительным и отчаянным периодом в его математической карьере. И теперь блестящее озарение положило конец всем страданиям. «В первый вечер я отправился домой и заснул у себя в кабинете над найденным решением. На следующее утро к 11 часам я убедился, что все в порядке. Тогда я спустился вниз и сказал жене: "Я нашел его! Думаю, что мне удалось найти его". Мое заявление прозвучало так неожиданно, что жена решила, будто я говорю о какой-то детской игрушке. Тогда я объяснил, что мне удалось исправить свое доказательство».
Первая страница доказательства теоремы Ферма, представленного Уайлсом
MODULAR ELLIPTIC CURVES AND FERMAT'S LAST THEOREM / 455
Chapter 1 This chapter is devoted to the study of certain Galois representations. In the first section we introduce and study Mazur's deformation theory and discuss various refinements of it. These refinements will be needed later to make precise the correspondence between the universal deformation rings and the Hecke rings in Chapter 2. The main results needed are Proposition 1.2 which is used to interpret various generalized cotangent spaces as Selmer groups and (1.7) which later will be used to study them. At the end of the section we relate these Selmer groups to ones used in the Bloch—Kato conjecture, but this connection is not needed for the proofs of our main results. In the second section we extract from the results of Poitou and Tate on Galois cohomology certain general relations between Selmer groups as Σ varies, as well as between Selmer groups and their duals. The most important observation of the third section is Lemma 1.10(i) which guarantees the existence of the special primes used in Chapter 3 and [TW].
1. Deformations of Galois representations Let p be an odd prime. Let Σ be a finite set of primes including p and let Q<sub>Σ</sub> be the maximal extension of Q unramified outside this set and ∞. Throughout we fix an embedding of Q, and so also of Q<sub>Σ</sub>, in C. We will also fix a choice of decomposition group D<sub>q</sub> for all primes q in Z. Suppose that k is a finite field of characteristic p and that (1.1) ρ<sub>0</sub>: Gal(Q<sub>Σ</sub>/Q) → GL<sub>2</sub>(k)
is an irreducible representation. In contrast to the introduction we will assume in the rest of the paper that ρ<sub>0</sub> comes with its field of definition k. Suppose further that det ρ0 is odd. In particular this implies that the smallest field of definition for ρ<sub>0</sub> is given by the field k0 generated by the traces but we will not assume that k = k<sub>0</sub>. It also implies that ρ0 is absolutely irreducible. We consider the deformations [ρ] to GL<sub>2</sub>(A) of ρ<sub>0</sub> in the sense of Mazur [Ma1]. Thus if W(k) is the ring of Witt vectors of k, A is to be a complete Noetherian local W(k)-algebra with residue field k and maximal ideal m, and a deformation [ρ] is just a strict equivalence class of homomorphisms ρ: Gal(Q<sub>Σ</sub>/Q) → GL<sub>2</sub>(A) such that ρ mod m = ρ<sub>0</sub>, two such homomorphisms being called strictly equivalent if one can be brought to the other by conjugation by an element of ker: GL<sub>2</sub>(A) → GL<sub>2</sub>(k). |
