Если нам повезет, мы сможем решить это уравнение, получив формулу для положения тела в любой заданный момент времени. Если так, наше уравнение интегрируемо. Многие ранние работы в механике сводятся, по существу, к поиску систем, которые моделируются интегрируемыми уравнениями. Но даже для очень простых систем это может оказаться трудной задачей. Маятник – одна из простейших механических систем, существующих на свете, и он действительно оказывается интегрируемым; но даже в этой простейшей системе точная формула решения задействует эллиптические функции.

Для начала скажем, что интегрируемые случаи были открыты методом проб и ошибок. По мере того как математики набирались опыта, они начинали выявлять кое-какие общие принципы. Самые известные из них – законы сохранения, в которых обозначены сохраняющиеся величины, то есть величины, которые не меняются в процессе движения. Самая знакомая из этих величин – энергия. При отсутствии трения полная энергия механической системы остается постоянной. Еще сохраняются импульс и момент импульса. Если сохраняющихся величин достаточно, ими можно воспользоваться, чтобы вывести решение, – и тогда система интегрируема. Исторически сложилось, что интегрируемые случаи движения твердого тела называют «волчками».

До Ковалевской было известно два интегрируемых волчка. Один из них – волчок Эйлера, твердое тело, не подверженное действию внешних закручивающих сил (моментов кручения). Второй – волчок Лагранжа, вращающийся вокруг своей оси на плоской горизонтальной поверхности с вертикально действующей силой тяжести. Лагранж открыл, что эта система интегрируема, если волчок обладает симметрией вращения. Ключевой аспект в обоих случаях – моменты инерции волчка; это говорит о том, какой момент кручения (закручивающая сила) необходим для того, чтобы увеличить угловую скорость вращения волчка вокруг заданной оси на заданную величину. У любого твердого тела имеется три особых момента инерции, которые считают определяющими. Во времена Софьи Ковалевской каждый математик, разбирающийся в механике, знал о волчках Эйлера и Лагранжа. Он знал также – или думал, что знает, – что эти волчки – единственные интегрируемые случаи, больше таких нет. Так что открытие третьего типа волчка, сделанное Ковалевской, стало для всех шоком. Более того, этот случай не полагался на симметрию – а математики уже поняли и начинали привыкать к тому, что симметрия помогает решать уравнения. Вместо этого в новом решении использовались загадочные свойства волчка, у которого один определяющий момент инерции вдвое меньше двух других. Мы теперь точно знаем, что больше интегрируемых случаев не существует.

Системы, которые не являются интегрируемыми, могут быть исследованы другими способами, к примеру при помощи численных приближений. Часто при этом системы демонстрируют детерминистический хаос: нерегулярное поведение, возникающее в результате действия неслучайных законов. Но даже сегодня физики, инженеры и математики испытывают большой интерес к интегрируемым системам: они легче для понимания и представляют собой редкие островки регулярности в океане хаоса. Исключительная природа таких случаев делает их особыми – и потому достойными подробного изучения. Волчок Ковалевской стал классикой математической физики.

18. Идеи возникали во множестве. Анри Пуанкаре

Архимеда идеи осеняли в ванне. Анри Пуанкаре они осеняли при входе в омнибус.

Пуанкаре был одним из самых изобретательных и оригинальных математиков своего времени.