Простой и очень важный пример поверхности – тор. В трехмерном пространстве тор имеет форму бублика с непременным отверстием посередине. Математический тор определяется как поверхность этого бублика – никакого теста внутри, одна только граница с окружающим воздухом. Концептуально эту фигуру можно определить без всякого теста и воздуха. Достаточно взять квадрат и добавить к нему правила, по которым соответствующие точки на противоположных сторонах квадрата тождественны. Если бы вы согнули квадрат и реально склеили противоположные его стороны, вы действительно получили бы поверхность тора. Но можно исследовать все и на плоском квадрате – конечно, если не забывать о правилах. Многие компьютерные игры «загибают» прямоугольный экран, графически используя правила склеивания, так что инопланетные монстры, уходящие за левый край экрана, тут же вновь появляются справа. Никто в здравом уме не будет физически сгибать экран, чтобы получить этот эффект. Этот объект известен в математике под названием, которое явственно отдает оксюмороном, – «плоский тор». Плоский он потому, что его локальная геометрия совпадает с локальной геометрией плоского квадрата. А тор – потому, что его глобальная топология представляет собой топологию… тора.

Иоганн Листинг и другие топологи показали, что любая замкнутая поверхность конечных размеров может быть получена концептуальным склеиванием сторон подходящего многоугольника. Обычно такой многоугольник имеет больше четырех сторон, а правила склеивания могут быть довольно сложными. Исходя из этого, можно доказать, что любая ориентируемая – то есть имеющая две различные стороны, в отличие от знаменитой ленты Мёбиуса, – поверхность представляет собой k-тор, или тор k-го рода. Это поверхность, подобная тору, но с k отверстиями, где k = 0, 1, 2, 3, … Если k = 0, мы получаем сферу, если k = 1, получаем обычный тор, если k ≥ 2, получаем нечто более сложное. Аналогичная классификация существует и для неориентируемых поверхностей, но мы не будем вдаваться в подробности.

Пуанкаре хотел обобщить топологию и распространить ее на пространства размерностей больших, чем два, и очевидным первым шагом в этом направлении был переход к трем измерениям. Здесь принципиальное значение имеет Гауссов объективный взгляд на геометрию; дело в том, что мало смысла в попытках встроить сложное топологическое пространство в обычное трехмерное Евклидово пространство. Это как встраивать тор в плоскость, причем без фокуса с отождествлением сторон. Не получится.

Чтобы понять, что интересные трехмерные топологические пространства – трехмерные многообразия – возможны, мы обобщим прием, которым пользовался еще Листинг. К примеру, чтобы получить плоский трехмерный тор, берут объемный куб (чтобы получить что-то трехмерное, требуется внутренность куба, а не только шесть его квадратных граней) и концептуально склеивают попарно (отождествляют) противоположные грани. Теперь объемный инопланетянин может выйти через одну грань и тут же вновь появиться с противоположной стороны, как если бы эти две грани были двумя сторонами некоего портала в стиле «Звездных врат» и инопланетянин просто проходил бы сквозь этот портал.

В обобщенном смысле мы можем взять многогранник и склеить его грани в соответствии с некоторым набором правил. Этот рецепт позволяет получить множество трехмерных многообразий различных топологий, но таким способом уже невозможно получить их все. (Неочевидно, но это правда.) Мало того, классифицировать топологические типы многообразий с тремя и более измерениями принципиально невозможно; фигур с разной топологией существует слишком много.