Гипотеза Пуанкаре оказалась твердым орешком. Очень твердым. Если вы тополог и привычны к соответствующей терминологии и мышлению, вопрос покажется вам простым. Он должен иметь естественный ответ и простое доказательство. Однако, судя по всему, это не так. Но идеи, которые натолкнули на него Пуанкаре, вызвали взрывной рост исследований топологических пространств и их свойств, таких как гомология и гомотопия, которые, если вам повезет, вы сможете различить. Гипотеза Пуанкаре была в конечном итоге доказана в 2002 г.; Григорий Перельман сделал это при помощи новых методов, на которые его отчасти вдохновила общая теория относительности.

* * *

Для Пуанкаре топология была не просто интеллектуальной игрой. Он применял ее в физике. Традиционный метод анализа динамической системы состоит в том, чтобы записать ее дифференциальное уравнение, а затем решить его. К несчастью, этот метод редко дает точный ответ, так что математики столетиями использовали приближенные методы. До тех пор пока не появились доступные и эффективные компьютеры, аппроксимации принимали вид бесконечного ряда, из которых использовались только первые несколько членов; компьютеры сделали численные методы аппроксимации вполне практичными и применимыми. В 1881 г. Пуанкаре разработал совершенно новый способ подхода к дифференциальным уравнениям и изложил его в «Записке о кривых, определенных дифференциальным уравнением». Этой статьей он заложил фундамент качественной теории дифференциальных уравнений, которая пытается вывести свойства решений дифференциального уравнения, не записывая для этого ни формул, ни рядов и не вычисляя их численно. Вместо этого теория использует общие топологические свойства фазового портрета – множества всех решений, рассматриваемого как единый геометрический объект.

Решение дифференциального уравнения описывает то, как его переменные меняются с течением времени. Решение можно визуализировать, если построить график, использовав эти переменные как координаты. С течением времени координаты меняются, так что определяемая ими точка движется вдоль кривой – траектории решения. Возможные сочетания переменных определяют многомерное пространство – по одному измерению на каждую переменную, – которое называют фазовым пространством, или пространством состояния. Если решения существуют при любых начальных условиях, как обычно и бывает, каждая точка в фазовом пространстве ложится на ту или иную траекторию. Таким образом, фазовое пространство разбивается на семейство кривых – фазовый портрет. Кривые эти ложатся рядом друг с другом как гладко расчесанные длинные волосы, за исключением окрестностей установившегося состояния уравнения, где решение остается все время постоянным, и волоски сжимаются в точку. Установившиеся состояния найти нетрудно; они обеспечивают фазовому портрету начало «скелета»: диаграмму его основных отличительных признаков.

Если исходить из этого описания, то для того, чтобы нарисовать фазовый портрет, нам нужно знать решения – или, по крайней мере, их численные приближения. Пуанкаре открыл, что некоторые свойства решений можно определить топологически. К примеру, если у системы есть периодическое решение – такое решение, которое снова и снова повторяет одну и ту же последовательную цепочку состояний, – то траектория представляет собой замкнутую петлю и решение просто ходит по ней кругами, как белка в колесе.