Так что та самая абстрактная статья, посвященная теоретической математике, которую Мандельброт первоначально отверг, содержала, как оказалось, идею, ставшую центральной для теории фракталов – а ведь Мандельброт увлекся этой темой именно потому, что она была далека от абстракции и тесно связана с природой. Математика едина, в ней все переплетено, а абстрактное и конкретное тесно связано тонкими нитями логики. Ни одна из этих философий не может взять верх, а крупнейшие прорывы часто являются результатом использования того и другого одновременно.

25. Наизнанку. Уильям Тёрстон

Математики ничто так не любят, как поговорить с другими математиками: об их работе, в надежде уловить какую-нибудь новую идею, которая поможет разобраться с собственной текущей задачей; о новом тайском ресторанчике, который открылся на краю кампуса; о семье и общих друзьях. Как правило, они делают это, сидя небольшими группами за столиками и попивая кофе. Как однажды сказал Альфред Реньи, «математик – это машина по переработке кофе в теоремы». У него получился каламбур, поскольку слово Satz по-немецки означает и «теорема», и «(кофейная) гуща».

Такие неформальные дискуссии часто возникают и в более формальном контексте – на семинарах (это формальные лекции для специалистов), коллоквиумах (менее формальные лекции, предназначенные официально для профессионалов или студентов, в том числе работающих в других областях, хотя иногда различить их нелегко), мастерских (небольших специализированных конференциях), «песочницах» (они еще меньше и еще менее формальны) или конференциях (крупных и, возможно, более широких по охвату мероприятиях). В декабре 1971 г. Университет Калифорнии в Беркли принимал у себя семинар по динамическим системам. Системы эти тогда привлекли горячий интерес, поскольку Стивен Смейл и Владимир Арнольд с коллегами и студентами в Беркли и Москве продолжили исследования с того места, где их оставил Пуанкаре после открытия хаоса; исследователи разрабатывали новые топологические методы, позволявшие разобраться с нерешаемыми на первый взгляд старыми задачами. Динамическая система – это все, что развивается во времени по конкретным неслучайным правилам. Правилами для непрерывной динамической системы служат дифференциальные уравнения, определяющие состояние системы на крохотное мгновение вперед в зависимости от ее текущего состояния. Существует аналогичное понятие дискретной динамической системы, в которой время тикает дискретными мгновениями, 1, 2, 3, … Докладчик представил новое решение задачи, которое сводилось к тому, чтобы рассматривать лишь конечное число точек на плоскости. Он объяснил ключевой прием: как сдвинуть любое заданное число точек в новое положение, не слишком далекое от исходного, так, чтобы они не разошлись слишком далеко ни на каком этапе движения. (При этом следует выполнить еще кое-какие условия.) Эту теорему несложно было доказать для пространств трех и более измерений, но теперь, как утверждалось, было найдено доказательство для двух измерений, которое до этого искали долго и безуспешно. Из этого следовало множество интересных результатов в динамике.

В задних рядах сидел скромный молодой человек, недавний студент, похожий на хиппи, с густой бородой и длинными волосами. Он встал и довольно робко сказал: ему не кажется, что представленное доказательство неверно.