Но если оба числа, + 2 и -2, являются корнями квадратными из 4, то какое же число будет корнем квадратным из -4? Конечно, +2 × -2 = -4, но +2 и -2 — это не одно и то же. Так что перемножение этих двух разных чисел не является возведением в квадрат.

Очевидно, что среди положительных и отрицательных чисел не существует такого, которое, будучи возведено в квадрат, дало бы -4 или любое другое отрицательное число, но давайте проявим упорство, попробуем найти подходящее число и решить эту задачу.

Для начала упростим задачу, насколько это возможно. Любое число, скажем √64 , можно разбить на множители и записать в виде √(16×4). Это выражение можно дальше преобразовать в √16 × √4. При этом окончательный ответ не меняется. √64 = 8 и √16 × √4 = 4 × 2 = 8.

Мы можем решить еще сколько угодно подобных примеров, и всегда это правило будет справедливо. То есть если число разбить на множители, то квадратный корень из этого числа будет равен произведению квадратных корней сомножителей. Это утверждение справедливо и для иррациональных чисел. Например, √15 = √5 × √3. Можно заглянуть в специальные таблицы и найти там -√15, равный 3,872983.

В свою очередь, √5 = 2,236068, √3 = 1,732051 (конечно, это приближенные значения). При перемножении 2,236068 × 1,732051 получаем 3,872983, то есть мы доказали, что √15 = √5 × √3.

Отлично, тогда мы можем предложить такую схему. Любое отрицательное число равно произведению соответствующего положительного числа на -1. Другими словами, -64 = 64 × (-1); -276 = 276× (-1); -1,98 = 1,98 × (-1) и так далее.

Квадратный корень из любого числа, например из -172, можно разбить на сомножители: √-172 = √172 × √-1. Следовательно, если мы найдем квадратный корень из -1, мы сможем найти квадратный корень любого отрицательного числа. Но тут мы опять сталкиваемся с неразрешимой, казалось бы, задачей:

1 × 1 = 1; (-1) × (-1) = 1.

Не существует такого числа, которое при перемножении на себя самое дало бы -1.

Следовательно, единственное, что мы можем сделать, — это придумать такое число, Мы можем договориться, что символ # обозначает, что # × # равно отрицательному числу. Тогда #1 × #1 = -1. Это выражение справедливо по определению, а поскольку оно не противоречит ни одному из математических постулатов, то нет никаких оснований, чтобы его не использовать.

Разумеется, такое число является нереальным, воображаемым. Мы легко можем себе представить, что такое +$1 и -$1. +$1 — это доход в $1, а -$1 — это расход в $1. Но как представить себе #1$? Математики, которые первыми стали работать с этими новыми числами, назвали их мнимыми. В отличие от мнимых чисел обычные отрицательные и положительные числа, как рациональные, так и иррациональные, называются действительными.

Математики не стали изобретать для этих чисел нового знака, наподобие знака + или -, хотя мне кажется, это было бы целесообразно. Вместо этого они обозначили √-1 буквенным символом «i». Другими словами, i × i = -1, или √-1 = i. Кроме того, -i × -i также равняется i², то есть -1. Мы также должны записать √-1 = -i.

И последнее, -i × i = -i² = -(-1) = 1.

Теперь мы легко можем извлечь квадратный корень из любого отрицательного числа.

Величина √-4 равна √4 × √—1, или ±2 × i, что можно просто записать как ±2i.

Точно так же величина √-64 равна √64 × √-1, или ±8 × i, что можно просто записать как ±8i, а величина √-15 равна √15 × √-1, или ±3,8729832 × i, что можно просто записать как ±3,8729832i.