Правда, мы можем проверить это утверждение для корня третьей степени. Чему, например, равен корень кубический из 1, или (³√+1)? Во первых, (+1) × (+1) × (+1) = +1, то есть +1 является одним из кубических корней из 1.

А чему равны остальные два? Перейдем в область отрицательных чисел.

(-1) × (-1) × (-1) = ( + 1) × (-1) = -1

Таким образом, -1 не является корнем кубическим из 1. Более того, можно показать, что ни одно действительное число, а также ни одно мнимое (будь то -i или -И), возведенное в третью степень, не дает в результате + 1.

Значит, корень всего один, а других двух просто нет?

Эти два корня существуют, но в области комплексных чисел. Я просто приведу их значения, а вы сможете проверить, чему равны эти числа, возведенные в куб. Остальные два корня кубических из + 1 — это (-1/2 + 1/2√3i) и (-1/2 - 1/2√3i). Давайте проверим это утверждение.

Если (-1/2 + 1/2√3i) — один из кубических корней +1, то это значит, что (-1/2 + 1/2√3i)³ или (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) равно 1. Умножение можно произвести по той методике, которая описана выше.

Два промежуточных мнимых результата можно сложить, сумма чисел (-1/4√3i) и (-1/4√3i) равна (-1/2√3i). Что касается 3/4i², то это действительное число, равное -3/4.Теперь сложим два действительных составляющих этого выражения: 3/4 - 1/4 = -1/2, таким образом, результат умножения -1/2 - 1/2√3i.

Этот результат нужно снова умножить на (-1/2 + 1/2√3i).

Две мнимые составляющие этого выражения (-1/4√3i) и (-1/4√3i) в сумме дают 0, так что ими можно пренебречь. Число 3/4i² является действительным числом, так как i² = -1, то есть 3/4i² = -3/4. Добавим к 3/4оставшийся промежуточный результат 1/4 и получим 1. Итак, (-1/2 + 1/2√3i)³ равно 1.

Точно так же можно возвести в третью степень число (-1/2 - 1/2√3i).

(-1/2 - 1/2√3i) × (-1/2 - 1/2√3i) × (-1/2 - 1/2√3i) = 1.

Точно так же можно показать, что у числа -1 есть три корня третьей степени, два из которых комплексные, по три кубических корня и у чисел i и -i.

На нашем «шахматном» шаблоне можно изобразить также третью линию, или ось, так, чтобы помимо направлений север, юг, запад и восток у нас появились направления «внутрь» и «наружу». Таким образом, наша «шахматная доска» из плоской фигуры превращается в объемную фигуру. Теперь точно так же, как в свое время мы получили сетку на плоскости, мы можем составить мозаику из кубиков.

Третья ось состоит из гипермнимых чисел, которые обозначаются буквой j. На гипермнимой оси также имеется положительная и отрицательная области, где, соответственно, расположены положительные (+1j, +2j, +3j, +4j, +5j, +6j и т. д.) и отрицательные (-1j, -2j, -3j, - 4j, -5j, -6j и т. д.).

Теперь числа располагаются в пространстве, на точках пересечения плоскостей север—юг, запад—восток и «внутрь» и «наружу». При пересечении этих плоскостей образуются кубы, принцип тот же, что и при образовании квадратов на нашем «шахматном шаблоне». Каждая точка такого пространства имеет собственные координаты, которые являются гиперкомплексным числом.

Нам легко представить себе три оси в пространстве, поскольку это привычные три измерения: длина, ширина и высота. Однако математики оперируют с большим количеством измерений. Иногда они работают даже в таких системах, где точное количество осей не определено.