Глава 10

БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Каждый, кто начинает думать о числах, неизбежно приходит к выводу, что существует огромное количество чисел, и совершенно непонятно, как можно его выразить. На помощь приходит поэзия. Мы можем сказать, что чисел так же много, как песчинок в пустыне, как капель воды в океане или как мерцающих звезд на небе. Но для математика такие сравнения бесполезны. С точки зрения математика, мы можем к любому числу прибавить единицу и получить следующее число, затем к полученному числу прибавить единицу и так далее. Поскольку в математике нет никаких ограничений для операций сложения, можно сложить любые два числа, и, следовательно, этот процесс бесконечен. Таким образом, мы можем взять сколь угодно большое число, прибавить

к нему единицу и получить еще большее. Мы можем представить себе число, протяженность которого равна расстоянию до дальней звезды, но и к нему можно прибавить единицу и получить еще большее число.

Последовательность целых чисел, записанных в порядке 1, 2, 3…, представляет собой бесконечность, то есть нечто, не имеющее конца. То есть, когда мы пишем 1, 2, 3…, это означает «1, 2, 3 и далее бесконечно».

Точно таким же образом мы можем записать ряд целых отрицательных чисел: -1, -2, -3…, что будет означать «-1, -2, -3 и далее бесконечно» или ряд положительных или отрицательных мнимых чисел: +1i, +2i, +3i… или -1i, -2i, -3i…

А теперь давайте запишем другой ряд чисел, ряд четных чисел: 2, 4, 6, 8 и так далее. Сколько существует четных чисел?

С точки зрения обычного здравого смысла можно было бы сказать, что четных чисел вдвое меньше, чем всех целых чисел, вместе взятых, поскольку целые числа делятся на четные и нечетные. Скажем, из первых десяти чисел пять — четные, а пять — нечетные.

Но это не так. Ведь количество целых чисел бесконечно, и мы не можем говорить о «половине бесконечности».

Рассмотрим ряд четных чисел с другой точки зрения. Какое бы сколь угодно большое число мы ни выберем, к нему всегда можно прибавить 2 и получить число еще большее. Даже если мы представим себе гигантское четное число, цифры которого протянулись до самой дальней звезды, мы и к нему сможем прибавить 2 и получить еще большее число.

То же самое можно сказать о ряде нечетных чисел 1, 3, 5, 7… и о ряде чисел, кратных 5, то есть 5, 10, 15, 20, 25…, и о ряде чисел, кратных миллиону, то есть 1 000 000, 2 000 000, 3 000 000… Все эти ряды бесконечны, и, представляя себе такие ряды, вы составляете представление о понятии «бесконечность».

Тем не менее мое объяснение может вас не удовлетворить. Ведь кажется настолько очевидным, что четных чисел должно быть вдвое меньше, чем целых чисел вообще, пусть даже их число будет бесконечно, а чисел, кратных миллиону, должно быть в миллион раз меньше, чем всех целых чисел.

Но далеко не всегда то, что кажется очевидным, соответствует истине. Казалось бы, очевидно, что, если человек стоит лицом к северу, его спина обращена к югу. Кто же станет возражать против этого? Но если он стоит на Южном полюсе, то это не соответствует истине. И его лицо, и его спина будут обращены на север.

Давайте все-таки разберемся с числами. Давайте выясним, какое соотношение существует между четными числами и всем количеством целых чисел. Как же это сделать, ведь целых чисел бесконечное количество? Тем не менее метод для такого подсчета существует.

Как мы обычно считаем объекты? Мы приписываем каждому объекту определенное число из возрастающей последовательности целых чисел. Первый объект — объект номер один, второй — номер два и так далее. Если последний объект оказывается объектом номер десять, значит, у нас всего десять объектов.