Два экваториальных круга:

В первом случае скорость вращения поверхности равна (B₁T?, а во втором - со₂R. Итак, в пятимерном пространстве объекты могут вращаться одновременно с различными скоростями.

Перейдем к рассмотрению четырехмерного случая. Здесь общая матрица угловых скоростей задается шестью параметрами:

Отметим, что всегда можно ориентировать систему координат так, чтобы матрица А приводилась к каноническому виду. Один из способов это сделать требует отыскания собственных векторов AA, матричного произведения А на себя саму. Это действительная симметричная матрица, и, следовательно, у нее четыре ортогональных собственных вектора. Они образуют пары с собственными значениями -CO₁² и -со₂². Смысл этого явления легко выяснить из геометрических аналогий: действуя А на любой вектор, лежащий в одной из плоскостей вращения, мы поворачиваем этот вектор на 90 градусов и умножаем на соответствующую компоненту ю. Действуя А дважды, мы восстанавливаем исходное значение вектора и умножаем его компоненты на ю². Каждая пара собственных векторов лежит в одной из плоскостей вращения.

Другой способ заключается в применении линейного оператора - звезды Ходжа. Обычно дуальная матрице M матрица Ходжа записывается как ★ М, отсюда кодовое обозначение макросферы в Диаспоре. В контексте четырехмерной евклидовой геометрии звезда Ходжа отображает плоскости на другие плоскости. Например, если четыре используемых нами координаты обозначить как x,y,z,u, то дуальная плоскость Ходжа для плоскости ху - плоскость гы. Аналогичным образом находятся и другие дуальные плоскости. Ситуация несколько осложняется тем, что при повороте в каждой плоскости придется выбирать из двух направлений вращения. Но, рассматривая А как сумму поворотов в шести координатных плоскостях, мы получаем дуальные плоскости для каждой из них без особого труда. Придется лишь поменять несколько знаков, чтобы соблюсти выбранную ориентацию, и вместо коэффициентов, соответствующих, например, координатам х и у, написать коэффициенты, соответствующие, например, координатам z и и. Можете самостоятельно проверить, что получается

Теперь мы хотели бы расписать А как сумму по вращениям в двух плоскостях: в одной плоскости, матрицу которой мы обозначим как S, и перпендикулярной к первой, чью матрицу мы обозначим как * S. Иными словами, следует выбрать S, со,, со₂ так, чтобы

Действуя оператором Ходжа, а также учитывая, что двукратное его применение восстанавливает исходную матрицу, получим

Первое из этих уравнений домножим на со , а второе - на оз₂. Вычтем их друг из друга. Имеем

Чтобы найти значения ш, и со₂, заметим, что результат применения матрицы S к вектору, перпендикулярному ее плоскости, равен нулю. Это возможно только в том случае, если определитель матрицы detS= 0. Выпишем матрицу в явном виде и вычислим ее определитель. Это действие довольно утомительно.

Последнее уравнение для det 5 можно решить для значений сорю,, при которых определитель равен нулю. Переобозначим эти значения как Q .

Потребуем нормализовать матрицу S, чтобы |Sp = | ★ Sp = I. Тогда значения CO₁ и со₂ можно найти по отдельности. Между «амплитудами» исследуемых матриц имеется пифагорово соотношение. Как только А разбита на дуальные пары, становится легко найти индивидуальные скорости вращения.

Если мы хотим выбрать новые координаты так, чтобы А привести к каноническому виду, следует также определить пару ортогональных векторов для плоскости, определяемой S, и пару - для плоскости, определяемой ее ходжевской дуэлью ★ S. Это стандартная техника линейной алгебры для работы с такими матрицами.

ПОСЛЕ «ДИАСПОРЫ».