К главе Разбиение единицы

Поверхность гиперсферы в пятимерном пространстве описывается уравнением

где х, у z, и, W- пространственные координаты, а система координат отцентрирована по центру гиперсферы. Предположим, что гиперсфера вращается как целое. Общее выражение для скорости любой точки вращающегося тела не зависит от числа измерений и дается уравнением

где матрица угловых скоростей тела обозначена как Cl, а вектор точки - как г. Матрица должна обладать свойством антисимметричности, то есть Cl.. = -£!..$ Чтобы доказать это, заметим, что Cl - матрица производных по времени от компонент линейного преобразования позиции точки в момент времени ( = 0 в позицию, соответствующую повороту. Матрица преобразования M{t) диктует такой поворот пары базисных векторов идеально жесткого тела е. и е., что их произведение, измеряющее угол между векторами, остается неизменным. Скорость изменения этого произведения во времени, следовательно, равна нулю.

Здесь мы использовали соглашение о суммировании, введенное Эйнштейном, и просуммировали по всем значениям повторяющихся индексов (например, к и г). Чтобы получить четвертое уравнение из третьего, заметьте, что M(O) - просто матрица идентичности. Переходя к искомому соотношению, мы отбросили временную зависимость элементов матрицы угловых скоростей, поскольку предполагаем, что на тело не действуют никакие внешние силы, а значит, Q постоянна. В пяти измерениях общая антисимметричная 5 х 5-матрица Q будет иметь 10 независимых параметров, но всегда можно выбрать базис, в котором она приводится к каноническому виду:

Отметим, что координаты х и у выбраны так, что они лежат в одной плоскости вращения, координаты z и и - в другой, а координата w лежит в плоскости, перпендикулярной им обеим. Чтобы понять, почему всегда можно выбрать такой базис, сперва учтем, что определитель любой антисимметричной матрицы N * N, где N- нечетное число, равен нулю. Это так, потому что detQ = CletQ⁷', где T означает транспонирование, а определитель - собственно, /V-членная сумма произведений, в которой знаки везде изменены на противоположные для транспонированных компонент антисимметричной матрицы. Итак, detQ^r = -(detQ) для нечетных N. Отсюда следует, что по крайней мере один ненулевой вектор в нуль-пространстве Q наверняка существует. Выбирая его как опорное направление координаты w, ось вращения, мы «заполняем» последние столбец и строку матрицы Q нулями. Задача сводится к четырехмерной. Четырехмерный случай будет рассмотрен дальше.

Пока же перемножим вектор для общей точки г = (x,y,u,z,w) на каноническую матрицу и получим

Итак, для любой точки cx=y=z=u=Q скорость равна нулю. Набор таких точек составляет ось вращения тела - ось w. Сечение осью исходной гиперсферы даст два полюса, на которых w = ± R. Физически возможен, но космологически маловероятен случай, когда CO₂ = 0, то есть, чтобы скорость стала равной 0, достаточно удовлетворить условию х = у = 0. При этом остальные три координаты можно выбирать произвольно: они образуют трехмерный объем. Сечение объектом гиперсферы даст единственный полюс: двумерную сферу Z² + и² + w² = R².

Два экваториальных круга:

В первом случае скорость вращения поверхности равна (B₁T?, а во втором - со₂R. Итак, в пятимерном пространстве объекты могут вращаться одновременно с различными скоростями.

Перейдем к рассмотрению четырехмерного случая. Здесь общая матрица угловых скоростей задается шестью параметрами:

Отметим, что всегда можно ориентировать систему координат так, чтобы матрица А приводилась к каноническому виду. Один из способов это сделать требует отыскания собственных векторов AA, матричного произведения А на себя саму.