К главе Добыча истины

Поверхность тора, вложенного в трехмерное пространство, непрерывно искривлена. На первый взгляд кажется невозможным уплощить тор, не превратив меридианы (красные круги) в прямые - тогда все линии широты (синие круги) будут иметь одинаковый радиус. Но тогда топология поверхности изменится, и она станет обычным цилиндром. Однако, вращая каждый меридиан в четвертом пространственном измерении, можно добиться равенства широтных радиусов без ненужного спрямления меридианов. Трехмерная «тень» получившегося объекта выглядит как цилиндр, но различные оттенки передней и задней поверхностей указывают, что на самом деле они не соприкасаются - в четвертом измерении они разделены.

Доказательство. Стандартный способ вложения тора в три измерения приводит к замене координат

Здесь а, b - соответственно больший и меньший радиусы тора, а углы А, В пробегают значения от 0 до 2л. Выглядит это следующим образом:

Вложение тора в три измерения в координатах (х, у z)

Это новое вложение достигается вращением каждого красного меридиана на 90 градусов в четвертом измерении - расстояние по центральной оси превращается в расстояние по координате w.

Если теперь рассматривать сечение в координатах (.х, у, z), меридианы, выглядевшие кругами, вроде бы вырождаются в прямые, но на самом деле это не так. Переходя к координатам (х, у w) (координата z переведена в цветовую шкалу), видим, что меридианы начинаются с горизонтали и в направлении w выглядят уже вертикальными. В каждом случае круги все еще кажутся прямыми, поскольку четвертая координата показана только цветовой кодировкой.

Вложение тора в три измерения в координатах (х, у, w)

Вложение тора в четыре измерения в координатах (х, у, w)

Сферу тоже нельзя уплощить, вложив ее в любое пространство высшего порядка. Чтобы увидеть, почему это так, мысленно разделите ее на восемь треугольников. Четыре треугольника пересекаются в шести точках, и если бы поверхность, покрытая ими, была плоской, сумма углов вокруг каждой точки равнялась бы 360 градусам, а в сумме набегало бы 360 х 6 = 2160 градусов. Но, учитывая, что сумма углов каждого треугольника должна равняться 180 градусам, восемь треугольников поставляют нам 180 х 8 = 1440 градусов. Одновременно удовлетворить обоим этим условиям невозможно.

Доказательство. Любая поверхность характеризуется числом Эйлера. Если поверхность разбита на многоугольные грани, число Эйлера х наглядно определяется как

Здесь ф - число граней, в - число ребер, со - число вершин. Для сферы, разбитой на 8 треугольников, получаем ф = 8, в = 12, со = 6, X= 2.

От изменения какого-либо компонента формулы число Эйлера не меняется.

Рассмотрим теперь специальный случай, в котором все треугольники, вымостившие некоторую поверхность, полностью граничат всеми ребрами с соседями. Тогда каждое ребро принадлежит одновременно двум треугольникам. Итак, в = Зф/2.

Если поверхность плоская, то общая сумма внутренних углов треугольников т равна т = 180ф. В то же время т = ЗбОсо. Отсюда следует, что поверхность может быть уплощена только в том случае, если

Поскольку для сферы число Эйлера х = 2, уплощить ее невозможно.

К главе Сердце Ящерицы

На моем сайте можно загрузить интерактивный Java-апплет, иллюстрирующий излучение гравитационных волн двойной системой нейтронных звезд. Для работы с ним ваш браузер должен поддерживать Java.