А как насчет суммы четырех кубов?

В том же 1770 г. Эдвард Уоринг заявил без доказательства, что любое положительное целое число есть сумма не более чем 9 кубов и 19 четвертых степеней, и задал вопрос, можно ли утверждать что-то подобное о более высоких степенях. То есть для заданного числа k существует ли некий конечный предел количества k степеней, необходимых для выражения любого положительного целого числа в виде их суммы? В 1909 г. Давид Гильберт доказал, что ответ на этот вопрос – «да». (Нечетные степени отрицательных чисел отрицательны, и это сильно меняет правила игры, так что пока мы ограничиваемся только степенями положительных чисел.)

Число 23 определенно требует 9 кубов. Единственные возможные слагаемые здесь – 8, 1 и 0, и лучшее, что можно сделать, – это сложить две восьмерки и семь единиц:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Таким образом, в общем правиле кубов не может быть меньше 9. Однако это число можно и уменьшить, если согласиться на конечное число исключений. К примеру, в реальности 9 кубов требуется только для чисел 23 и 239; все остальные можно получить с использованием не более чем 8 кубов. Юрий Линник снизил это число до 7, допустив еще несколько исключений, и сегодня считается, что правильный ответ, допускающий конечное число исключений, – это 4. Наибольшее известное число, для записи которого необходимо больше 4 кубов, – это 7 373 170 279 850, и предполагается, что более крупных чисел с таким свойством не существует. Так что очень возможно – но пока вопрос остается открытым, – что любое достаточно большое положительное целое число есть сумма четырех положительных кубов.

Но, как я уже сказал, куб отрицательного числа отрицателен. Это порождает новые возможности, отсутствующие у четных степеней. Так,

23 = 27 – 1–1 – 1–1 = 3³ + (–1)³ + (–1)³ + (–1)³ + (–1)³,

то есть достаточно 5 кубов, тогда как в случае только положительных или нулевых кубов требуется 9, как мы только что видели. Но можно и еще улучшить результат: 23 можно выразить с использованием всего 4 кубов:

23 = 512 + 512 – 1 – 1000 = 8³ + 8³ + (–1)³ + (–10)³.

Разрешение на использование отрицательных чисел означает, что используемые кубы могут быть намного больше (если не обращать внимания на знак «–») самого числа. В качестве примера покажем, что число 30 можно записать в виде суммы 3 кубов, но придется постараться:

30 = 2 220 422 932³ + (–283 059 965)³ + (–2 218 888 517)³.

То есть мы не можем систематически просмотреть ограниченное число вариантов, как в случае, когда рассматриваем только положительные кубы.

Эксперименты привели нескольких математиков к гипотезе о том, что всякое целое число есть сумма 4 (положительных или отрицательных) целых кубов. Пока истинность этого утверждения окончательно не установлена, хотя свидетельств в его пользу хватает. Компьютерные расчеты подтверждают, что любое положительное целое число вплоть до 10 млн есть сумма 4 кубов. В. Демьяненко доказал, что любое число, которое нельзя представить в виде 9k ± 4, всегда представимо как сумма 4 кубов.

Откуда у леопарда пятна

У леопардов есть пятна, у тигров – полосы, а львы щеголяют ровным цветом. Почему? Все эти варианты кажутся какими-то случайными, как будто на распродаже из списка в «Каталоге больших кошек» эволюция выбирает для каждой самый красивый вариант окраски шкуры.