|
Исключив общий множитель 4, получим уравнения, которые необходимо решить:
xyz= XYZ x + y + z = X + Y + Z
в ненулевых целых числах. То есть нужно найти две тройки чисел, произведение и сумма которых взаимно одинаковы. Наименьшее решение равно (x, y, z) = (6, 6, 1) и (X, Y, Z) = (9, 2, 2). Произведение равно 36, сумма равна 13.
2. Наименьшее решение для трех коробок равно (20, 15, 4), (24, 10, 5) и (25, 8, 6). Теперь произведение равно 1200, а сумма – 39.
По ходу дела мы можем ответить и на третий вопрос, который не фигурировал в расследовании Сомса.
3. Что, если коробки перевязаны лентами, как обычно (как на левом рисунке), где x – ширина, y – глубина, а z – высота? Тогда уравнения примут вид:
xyz = XYZ x + y+ 2z = X + Y + 2Z.
Если мы заменим x, y, z на x, y, 2z и аналогично для X, Y, Z, то получится, что мы снова ищем тройки чисел с одинаковыми произведением (теперь это 2xyz = 2XYZ) и суммой. Однако при этом числа z и Z должны быть четными. Это условие выполняется в решении (1), если мы расставим длины сторон в нужном порядке, что позволит нам получить наименьшее решение (6, 1, 3) и (9, 2, 1). Мое внимание к этой задаче привлек Молой Де из Калькутты (Индия), нашедший также наименьшие наборы из четырех, пяти и шести чисел с одинаковыми произведениями и суммами.
Четыре набора: (54, 50, 14) (63, 40 15) (70, 30, 18) (72, 25, 21) Сумма = 118, произведение = 37 800.
Пять наборов: (90, 84, 11) (110, 63, 12) (126, 44, 15) (132, 35, 18) (135, 28, 22) Сумма = 185, произведение = 83 160.
Шесть наборов: (196, 180, 24) (245, 128, 27) (252, 120, 28) (270, 98, 32) (280, 84, 36) (288, 70, 42) Сумма = 400, произведение = 846 720.
RATS-последовательность
Следующий член последовательности – 1345. Правило зашифровано аббревиатурой RATS и выглядит так: Reverse, Add, Then Sort («Перевернуть, сложить, затем сортировать»). Под «сортировать» подразумевается «расставить цифры в порядке возрастания». Любые нули при этом отбрасываются. К примеру:
16 + 61 = 77, порядок получается правильный; 77 + 77 = 154, переставляем цифры – получаем 145; 145 + 541 = 686, переставляем цифры – получаем 668; 668 + 866 = 1534, переставляем цифры – получаем 1345.
Джон Хортон Конвей предположил, что, с какого бы числа вы ни начали, со временем эта последовательность либо войдет в повторяющийся цикл, либо превратится в бесконечно возрастающую последовательность
123<sup>n</sup>4444 → 556<sup>n</sup>7777 → 123<sup>n+1</sup>4444 → 556<sup>n+1</sup>7777 → …,
где n обозначает не n-ю степень, а n одинаковых цифр подряд.
Математические даты
Следующий тройной палиндром будет 21:12 21/12 2112. Следующий простой палиндром был 20:02 30/03 2002.
Собака Баскетболлов
– В самом деле, мадам, доктор Ватсап прав, – подтвердил Сомс. – Достаточно сообразить, что сдвинуто было всего четыре шара, и требуемая расстановка шаров становится очевидной. – Но какая же это расстановка? – Эту информацию, мадам, согласно вашему же собственному заявлению, мы можем раскрыть только старшему ныне живущему мужчине в роду. – А именно лорду Эдмунду Баске́, – уточнил я, – который в настоящий момент находится в коме. |
