Ну, может, не совсем как божий день, но… да, я понял.

– Это… – начал я, но остановился, увидев выражение его лица, и закончил иначе:

– Очень умно.

Теорема о четырех красках в пространстве

Четыре одинаковых шара можно разместить так, чтобы каждый из них касался остальных трех. Поставьте три шара равносторонним треугольником, чтобы они касались друг друга, а затем поместите четвертый сверху, чтобы он лег в центральное углубление и образовал вместе с ними тетраэдр. Теперь в центр пирамиды можно поместить пятый, меньший шарик такого размера, чтобы он касался всех четырех. Таким образом получаем пять шаров, каждый из которых касается остальных четырех; следовательно, все они должны быть окрашены в разные цвета.

Грек-интегратор

Сначала ответ. Нам нужно решить уравнение  Разделив обе части на 4πr², получим  Следовательно, r = 3.

А теперь о палимпсесте.

Оригинальная рукопись Архимеда не сохранилась, но эта копия (несомненно, результат целой серии копирований) была сделана византийским монахом около 950 г. н. э. В 1229 г. рукопись была расшита, а листы чисто (относительно) выскоблены вместе с листами по крайней мере шести других рукописей. Затем они были сложены пополам и использованы для записи 177-страничного христианского богослужебного текста – описания порядка религиозных служб.

В 1840-е гг. германский библеист Константин фон Тишендорф, наткнувшись на этот текст в Константинополе (ныне Стамбул), обратил внимание на какие-то слабо различимые математические записи и привез страницу из рукописи с собой. В 1906 г. датский ученый Йохан Гейберг установил, что часть палимпсеста составляет какое-то произведение Архимеда. Он сфотографировал его и в 1910 и 1915 гг. опубликовал кое-какие выдержки из документа. Вскоре после этого Томас Хит перевел опубликованный материал, но в то время он привлек мало внимания. В 1920-е гг. документом владел один французский коллекционер; к 1998 г. документ каким-то образом оказался в США и стал предметом судебного разбирательства между аукционным домом «Кристис» и Греческой православной церковью, которая утверждала, что в 1920 г. этот документ был похищен из монастыря. Судья принял решение в пользу «Кристис» на основании того, что промежуток времени между предполагаемым похищением и судебным иском по его поводу был слишком велик. Документ был приобретен анонимным покупателем (по сообщению журнала Der Spiegel, это был основатель компании Amazon Джефф Безос) за $2 млн. С 1999 по 2008 г. документ был подвергнут консервации в Художественном музее Уолтерса в Балтиморе и проанализирован группой специалистов по визуальной информации, целью которых было «проявить» скрытые записи.

Метод Архимеда можно объяснить (используя современный язык и обозначения) следующим образом. Начнем с шара радиусом 1, описанного вокруг него цилиндра и некоего конуса. Если поместить центр шара в точку x = 1 на действительной прямой, то радиус сечения в любой точке x от 0 до 2 равен √(x(2 − x)), а его масса пропорциональна π квадратам этой величины, а именно πx (2 – x) = 2πx – πx².

Далее рассмотрим конус, полученный вращением прямой y = x вокруг оси x, опять же для 0≤x≤2. Сечение этого конуса в точке x представляет собой круг радиусом x и площадью πx². Его масса пропорциональна этой величине с тем же коэффициентом пропорциональности, так что общая масса ломтика шара и ломтика конуса равна (2πx – πx²) + πx² = 2πx.

Поместим два эти ломтика в точку x = –1, на расстоянии 1 слева от начала координат. По закону рычага их в точности уравновешивает круг радиусом 1, помещенный на расстоянии x справа от той же точки.