А теперь сдвинем все ломтики шара и конуса в одну и ту же точку x = –1, так что вся их масса сосредоточится в этой единственной точке. Соответствующие (и уравновешивающие) круги имеют радиус 1 и располагаются на расстояниях от 0 до 2. Таким образом, они образуют цилиндр. Центр массы цилиндра находится в его середине, то есть в точке x = 1. Следовательно, по закону рычага,

масса шара + масса конуса = масса цилиндра,

а поскольку масса пропорциональна объему, то объем шара + объем конуса = объем цилиндра.

Однако Архимед уже знал, что объем конуса составляет одну треть объема цилиндра (одна треть площади основания на высоту, помните?), так что объем шара равен двум третям объема цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания (πr²), умноженной на высоту (2r), то есть 2πr³ Следовательно, объем шара равен ⅔ от этой величины, то есть (4/3)πr³.

Площадь поверхности сферы Архимед вывел при помощи аналогичной процедуры.

Он описал этот процесс геометрически, но нам проще следить за его аргументами, пользуясь современными обозначениями. Учитывая, что происходило это все около 250 г. до н. э. и что закон рычага открыл тоже Архимед, его достижения можно по праву назвать поразительными.

Откуда у леопарда пятна

W. L. Allen, I. C. Cuthill, N. E. Scott-Samuel, and R. J. Baddeley. Why the leopard got its spots: relating pattern development to ecology in felids, Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences 278 (2011) 1373–1380.

Многоугольники навсегда

Хотя может показаться, что эта фигура будет увеличиваться до бесконечности, на самом деле она всегда остается в пределах ограниченной области на плоскости: круга радиусом приблизительно 8,7.

Отношение радиусов окружности, описанной вокруг правильного n-угольника, и окружности, вписанной в него, равно sec π/n, где sec – это тригонометрическая функция секанс, а угол измеряется в радианах. (Если хотите измерять угол в градусах, замените π на 180°.) Таким образом, для любого n радиус окружности, описанной вокруг правильного n-угольника на рисунке, равен

S = sec π/3 × sec π/4 × sec π/5 × … × sec π/n.

Мы хотим узнать предел этого произведения при n, стремящемся к бесконечности. Возьмем логарифм:

lnS = lnsec π/3 + lnsec π/4 + lnsec π/5 + … + lnsec π/n.

Пока x мал, lnsec x ~ x²/2, так что этот ряд можно сравнить с рядом

1/3² + 1/4² + 1/5² + … + 1/n²,

который при n, стремящемся к бесконечности, сходится. Следовательно, lnS конечен, так что и S конечно. Сумма членов ряда до n = 1 000 000 дает 8,7 в качестве разумной оценки предела.

Я узнал об этой задаче, а также о приведенном ответе из книжного обзора Харольда Боаса. Этот автор нашел эту задачу в книге «Математика и воображение» Эдварда Каснера и Джеймса Ньюмена, изданной в 1940 г. Он пишет: «Может быть, если этот рисунок воспроизвести в достаточном числе книг, этот забавный пример станет частью стандартного набора задач занимательной математики».

Я стараюсь, Харольд.

Приключения гребцов

Мы с Сомсом нашли еще два варианта распределения весел, не считая зеркально симметричных:

– Несмотря на всю механическую сложность задачи, – сказал Сомс, – в конечном итоге она сводится к простой арифметике. Нам нужно разделить числа от 0 до 7 на две группы – так, чтобы сумма чисел в каждой из них равнялась 14.