Несколько часов усиленных расчетов – и новые кипы бумаги – дали нам короткий, но важный список:

Но на этом все и застопорилось.

– Возможно, я слишком поспешно отказался от использования двойных факториалов, Ватсап.

– Очень может быть, Сомс.

Сомс кивнул и записал:

105 = 7!!

Затем, в порыве внезапного озарения, добавил:

И воскликнул:

– Если нам удастся найти способ записать 18 при помощи двух единиц, то доступный нам диапазон вокруг целого числа, выражаемого через две единицы, увеличится: мы тогда сможем гарантировать число от n – 20 до n + 20, – он прервался, чтобы перевести дух, и добавил: – Если же нет, то пропущенными в этом диапазоне окажутся только числа n – 18 и n + 18, которые нам, может быть, удастся выразить как-то иначе.

– Мне кажется, пора подвести промежуточный итог, – сказал я и еще раз внимательно просмотрел наши накопившиеся каракули. – По-моему, мы уже выразили через четыре единицы все числа от 1 до 33. Далее

требуют только двух единиц, так что мы немедленно заполняем все пропуски между 26 и 61. Возникает пробел на 62 (потому что это 44 + 18, а на выражении 18 через две единицы мы застряли), но 63 и 64 у нас есть. Далее, опираясь на 80, мы можем добраться до 97. На 98 опять возникает пробел, но 99 и 100 можно получить.

– И намного проще, кстати говоря, – заметил Сомс:

99 = 11/0,1 × 0,1;

100 = 1/(0,1 × 0,1);

101 = 1/(0,1 × 0,1) + 1.

– Таким образом, у нас есть все вплоть до 100, – сказал я, – за исключением 62 и 98.

– Но о 98 позаботится 105, вместе со всеми остальными числами вплоть до 122, – сказал Сомс.

– О, я и забыл, что у нас есть 105 из двух единиц.

– А поскольку 120 = 5! то есть тоже выражается через две единицы, мы можем добраться до 137. Более того, у нас есть еще 139 и 140.

– Так что единственные пробелы до 140 – это 62 и 138, – сказал я.

– Похоже на то, – сказал Сомс. – Интересно, можно ли заполнить эти пробелы каким-то другим способом?

Сможете ли вы найти способ записать 62 и 138 при помощи четырех единиц, не используя ничего более эзотерического, чем те функции, которые Сомс и Ватсап уже использовали? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Сомс и Ватсап все еще не закончили. Но финал уже близок: «Знак одного» завершается в главе «Знак одного. Часть четвертая – завершение».

Номера такси

Сриниваса Рамануджан – индийский математик-самоучка с поразительным талантом к формулам, как правило очень странным формулам, обладавшим, однако, своеобразной необычной красотой. В 1914 г. математики Годфри Харолд Харди и Джон Эденсор Литтлвуд из Кембриджа привезли его в Англию. К 1919 г. у него уже были неизлечимо больные легкие, и в 1920 г. он умер в Индии. Харди писал:

«Помню, как я однажды поехал навестить его, когда он лежал больной в Путни. Я приехал в такси номер 1729 и заметил вскользь, что номер этот показался мне довольно скучным и что я надеюсь, что это не дурное предзнаменование.