Насколько же велика эта выталкивающая сила? Рассмотрите твердое тело, погруженное в жидкость, содержащуюся в контейнере. Твердое тело должно создать место для того, чтобы разместить собственный объем, раздвигая или перемещая эквивалентный объем жидкости; уровень жидкости в контейнере соответственно повышается, чтобы разместить этот перемещенный объем.

Из рассмотренного следует, что твердое тело при погружении прикладывает к жидкости направленную вниз силу, достаточно большую, чтобы сбалансировать вес собственного объема твердого тела жидкостью. В соответствии с третьим законом Ньютона ожидается, что жидкость, в свою очередь, приложит к твердому телу эквивалентную выталкивающую силу, равную весу все того же количества жидкости.

Первоначальный вес погруженного тела равен его объему (V), умноженному на его плотность (D). Вес вытесненной жидкости равен ее объему (который является равным объему погруженного твердого тела и, следовательно, также равен V), умноженному на ее плотность (d). Вес тела после погружения (W) равен его первоначальному весу минус вес вытесненной воды:

Решая данное уравнение для D (плотность погруженного твердого тела), мы имеем:

Вес погруженного тела (W) может быть непосредственно измерен, объем вытесненной жидкости (V) — получен сразу после измерения повышения уровня жидкости и площади поперечного сечения сосуда, а плотность жидкости (d) также может быть легко измерена. Имея эти данные, мы легко можем рассчитать из уравнения 9.3 плотность погруженного тела.

Этот метод измерения плотности был открыт в III столетии до н.э. великим греческим математиком Архимедом. История гласит, что царь Гиерон из Сиракуз, получив золотую корону от ювелира, заподозрил того в нечестности. Царь чувствовал (а точнее, ему донесли), что ювелир сплавил золото с более дешевым серебром и присвоил себе разницу. Царь дал указание Архимеду определить: так ли оно было сделано. Естественно, корону повреждать было нельзя.

Архимед знал, что плотность короны, сделанной из серебряного сплава, будет меньше, чем золотой, но он не мог найти способ измерить плотность короны. Для определения плотности ему было необходимо знать как вес, так и объем короны. Однако если вес короны он мог узнать легко, то как узнать объем короны, не придавая ей формы куба, сферы или другой формы, для которой геометрией того времени была разработана методика расчета объема, он не знал. Кроме того, Гиерон не одобрил бы такое «изменение формы» со всеми вытекающими из этого факта последствиями.

Как гласит легенда, принцип плавучести пришел в голову Архимеду, когда он лег отдохнуть в полную ванну и увидел вытесненную из нее на пол воду. История донесла до нас зрелище голого, бегущего по улицам Сиракуз Архимеда. Он бежал, крича: «Эврика! Эврика!» («Я нашел! Я нашел!») Погрузив в воду корону и измерив повышение уровня воды, а также зная ее вес, и сделав то же самое с куском чистого золота равного веса, он сразу смог сообщить, что плотность материала, из которого была сделана корона, значительно меньше, чем у золота; соответственно ювелир был наказан. А основные принципы плавучести с тех пор называются «законы Архимеда».

Погруженное тело имеет большую плотность, чем плотность жидкости, в которую оно погружено, то есть D больше, чем d, и VD, естественно, больше, чем Vd. Из уравнения 9.2 мы видим, что в этом случае вес (W) погруженного тела должен быть положительным числом. Вес тела уменьшается, но все же он еще больше, чем нуль, и тело тонет в жидкости. (Подобным образом, твердый — железный или алюминиевый — предмет тонет в воде.)

Однако если погруженное тело имеет меньшую плотность, чем плотность жидкости, в которую оно погружается, то есть D меньше, чем d, VD меньше, чем Vd, то погруженное тело имеет вес, который выражается отрицательным числом.