Красота подхода Дедекинда в том, что он упрощает все вопросы, относящиеся к действительным числам, до соответствующих вопросов рациональных чисел, точнее, пары множеств рациональных чисел. Так мы получаем определение для действительных чисел только в рамках рациональных чисел и операций, относящихся к ним. К тому же действительные числа существуют (в математическом смысле), если существуют рациональные.

А вот небольшая плата за эту простоту: теперь действительное число определяется как пара множеств рациональных чисел – не совсем привычное для нас описание. Если это звучит слишком странно, вспомните, что обычное представление действительного числа – десятичная дробь, состоящая из бесконечной последовательности цифр от 0 до 9.

Концептуально это как минимум так же сложно, как сечение Дедекинда. И правда, непросто представить сумму или произведение двух бесконечных десятичных дробей, ведь обычные арифметические методы сложения или умножения десятичных дробей начинаются с их правого конца. А когда десятичная дробь бесконечна, она не имеет правого конца.

Аксиомы целых чисел

Книга Дедекинда была очень хороша для тренировки базовых навыков, но общие вопросы определения терминов в ней опущены. Она всего лишь сместила фокус с действительных чисел на рациональные. Но откуда нам знать, что рациональные числа существуют? Если мы предположим, что существуют целые числа, это просто: определим рациональное число p/q как пару целых чисел (p, q) и составим формулы для сумм и произведений. Если целые числа существуют, то существуют и их пары.

Но откуда нам знать, что существуют целые числа? Кроме знаков + и –, целые числа – обычные натуральные числа (включая 0). А учесть знаки не составит труда. Иными словами, целые числа существуют, если существуют натуральные.

Но мы так и не пришли к концу. Мы так хорошо знакомы с натуральными числами, что нам и не приходит в голову поинтересоваться, существуют ли на самом деле знакомые нам 0, 1, 2, 3 и т. д.? И если да, то что это такое?

В 1889 г. Джузеппе Пеано обошел вопрос существования, воспользовавшись подходом Евклида. В своей книге Евклид вместо спора о существовании точек, линий, треугольников и прочих фигур привел список аксиом – описание свойств, очевидных без сомнений. Ему было не важно, существуют ли точки и прочие элементы. Вот гораздо более интересный вопрос: если они существуют, какие свойства вытекают из этого? Итак, Пеано составил свой список аксиом для натуральных чисел. Вот основные из них.

• Число 0 существует.

• Каждое число n имеет следующее за ним s(n), которое мы принимаем как n + 1.

• Если P(n) – свойство, такое, что P(0) верно, и каждый раз, когда P(n) верно, то и P(s(n)) тоже верно, тогда P(n) верно для любого n (принцип математической индукции).

Затем он определил числа 1, 2 и т. д. с точки зрения этих аксиом, в частности получив:

1 = s(0),

2 = s(s(0))

и т. д. И еще он определил базовые арифметические действия и доказал, что они подчиняются обычным законам. В его системе 2 + 2 = 4 – доказуемая теорема, которая констатирует, что s(s(0)) + s(s(0)) = s(s(s(s(0)))).

Огромное преимущество такого аксиоматичного подхода в том, что он точно определяет то, что мы должны доказать, если хотим как-то показать, что натуральные числа существуют. Нам лишь надо сконструировать некую систему, удовлетворяющую всем аксиомам Пеано.

Здесь более глубоким вопросом становится значение самого существования для математики.