|
Например, вместо того чтобы говорить «натуральных чисел бесконечно много», мы можем сказать «не существует самого большого натурального числа». Второе утверждение логически эквивалентно первому, при этом в нем нет явного упоминания бесконечности. По сути здесь бесконечность рассматривается как процесс, который можно продолжить без всяких конкретных ограничений, но фактически не завершенный. Такую бесконечность философы называют потенциальной. В противовес этому явное использование бесконечности как математического объекта само по себе оказывается актуальной бесконечностью.
Предшественники Кантора обратили внимание на то, что актуальные бесконечности обладают парадоксальными чертами. В 1632 г. Галилей написал свой «Диалог о двух системах мира», в котором два персонажа, проницательный Сальвиати и смышленый мирянин Сагредо, обсуждают причину приливов с геоцентрической и гелиоцентрической точек зрения. По требованию церкви все упоминания о приливах были вычеркнуты, и книга превратилась в гипотетическое словесное упражнение, содержащее мощные доводы в пользу гелиоцентрической теории Коперника. Персонажи между делом обсуждали и некоторые парадоксы, связанные с бесконечностью. Сагредо вопрошал: «Может ли быть чисел больше, чем квадратов?» – и указывал, что, коль большинство целых чисел не являются полными квадратами, ответ должен быть «да». Сальвиати отвечал, что всякое число можно однозначно сопоставить с его квадратом:
Таким образом число целых чисел должно быть таким же, как и число квадратов, и, значит, ответ «нет». Кантор преодолел эти препятствия, указав, что в диалоге персонажей слово «больше» используется с двумя разными смыслами. Сагредо указывает, что множество всех квадратов является собственным подмножеством множества всех целых чисел. Позиция Сальвиати не столь однозначна: он возражает, что существует однозначное соответствие между множеством квадратов и множеством всех целых чисел. Это два разных утверждения, и оба могут быть верны – без каких-либо выводов. Так Кантор пришел к изобретению арифметики бесконечности, которая объясняла предыдущие парадоксы и в то же время предлагала новые. Эта работа стала частью более обширной программы, теории множеств, Mengenlehre (от нем. Menge – множество или скопление). Кантор стал размышлять о множествах из-за некоторых сложных вопросов Фурье-анализа, так что его идеи уходят корнями в широко признанные математические теории. Однако полученные им ответы оказались столь странными, что многие из математиков того времени предпочти их проигнорировать. В то же время другие ученые сразу оценили их важность, особенно Давид Гильберт, утверждавший, что «никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».
Размер множества
Отправной точкой для Кантора стала наивная концепция множества как совокупности объектов, или его элементов. Один из способов описать множество – перечисление его членов с использованием фигурных скобок. Например, множество всех натуральных чисел от 1 до 6 будет описано так: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. В другом варианте множество может быть описано с помощью правила для его элементов: {n: 1 ≤ n ≤ 6, где n – натуральное число}. Множества, определенные выше, идентичны. Первое обозначение ограничено конечным множеством, второе не имеет такого ограничения. Таким образом, множества {n: n – натуральное число} и {n: n – полный квадрат} точно указаны и оба бесконечны. Самое простое, что вы можете сделать со множеством, – пересчитать его элементы. Насколько оно велико? Множество {1, 2, 3, 4, 5, 6} имеет шесть элементов. То же относится к множеству {1, 4, 9, 16, 25, 36}, состоящему из соответствующих квадратов. |
