Изменить размер шрифта - +
То же относится к множеству {1, 4, 9, 16, 25, 36}, состоящему из соответствующих квадратов. Мы говорим, что мощность множества равна 6, и называем 6 кардинальным числом. (Есть и другая концепция: ординальное (порядковое) число, связанное с построением чисел по порядку, и поэтому прилагательное «кардинальное» здесь не лишнее.) Множество всех натуральных чисел невозможно пересчитать таким образом, но Кантор отметил, что вы можете установить между множеством всех натуральных чисел и множеством всех квадратов взаимно однозначное соответствие, используя ту же схему, что и Галилей. Тогда каждое натуральное число n окажется в паре со своим квадратом n<sup>2</sup>.

Кантор определил, что два множества равномощные (не его термин), если между ними есть взаимно однозначное соответствие. Если множества конечны, это свойство эквивалентно одинаковому количеству элементов. Но если они бесконечны, то нет смысла говорить о количестве элементов, а идея равномощности обретает очень важный смысл. Но Кантор пошел дальше. Он предложил систему трансфинитных чисел, или бесконечных кардинальных чисел, которые дали возможность определять, сколько элементов содержится в бесконечном множестве. Более того, два множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют равное количество элементов – равные кардинальные числа.

Начальной точкой стал новый вид чисел, который Кантор обозначил символом א<sub>0</sub>. Это буква алеф из иврита с нижним индексом 0, или алеф-ноль. Это число по определению является кардинальным для множества всех натуральных чисел. Но, настаивая на том, что равномощные множества также имеют одно и то же кардинальное число, Кантор затем рассудил, что всякое множество, для которого может быть установлено взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел, также должно иметь мощность א<sub>0</sub>. Например, множество всех квадратов имеет мощность א<sub>0</sub>. То же относится ко множеству всех четных чисел:

 

и множеству всех нечетных:

 

Одно из следствий этого определения таково: меньшее множество может иметь мощность, равную мощности большего множества. Но здесь в определении Кантора не было логических противоречий, он решил считать эту особенность естественным следствием своей идеи и не прогадал. Главное – не считать, что бесконечные кардинальные числа могут вести себя точно так же, как и конечные. Да и с какой стати? Ведь они не конечны!

Как вы думаете, количество целых чисел (и положительных, и отрицательных) больше количества натуральных? Будет ли их вдвое больше? Нет, потому что мы можем сопоставить эти два множества вот так:

 

Арифметика бесконечных кардинальных чисел тоже довольно странная. Например, мы только что увидели, что множества четных и нечетных натуральных чисел имеют кардинальное число א<sub>0</sub>. Поскольку у них нет одинаковых элементов, кардинальное число их объединения – множества, полученного в результате их совмещения, – должно быть א<sub>0</sub> + א<sub>0</sub>. Номы знаем, что представляет собой такое объединение: это натуральные числа с кардинальным числом א<sub>0</sub>. Видимо, придется заключить:

א<sub>0</sub> + א<sub>0</sub> = א<sub>0.</sub>

Так мы и поступим. Но и здесь нет противоречий: мы не можем поделить א<sub>0</sub>, чтобы получить 1 + 1 = 1, потому что א<sub>0</sub> не является натуральным числом. Такое деление невозможно, поскольку не имеет смысла. Действительно, это равенство показывает, что деление на א<sub>0</sub> не имеет смысла. И снова мы принимаем это как плату за прогресс.

Всё это очень хорошо, однако кому-то может показаться, что א<sub>0</sub> не более чем новый забавный символ для старой доброй бесконечности и по сути ничего нового здесь не сказано.

Быстрый переход