Здесь более глубоким вопросом становится значение самого существования для математики. В реальном мире существующим считается объект, который мы можем наблюдать или, если это не удается, сделать вывод о его существовании благодаря тому, что мы можем наблюдать. Например, мы знаем о существовании силы притяжения, поскольку можем наблюдать ее эффекты, хотя и не ее саму.

В реальном мире мы можем обоснованно заявлять о существовании двух кошек, двух велосипедов или двух ломтей хлеба. Но с числом два всё не так просто. Это не предмет, а идея. В реальном мире мы никогда не встретим число два. Ближе всего к этому можно считать символ «2», написанный, или напечатанный на бумаге, или высветившийся на экране компьютера. Но никто не думает, что символ – то же, что представляемый им предмет. Слово «кот», написанное черным по белому, не кот. Точно так же символ «2» не число два.

Значение слова «число» оказалось неожиданно трудной концептуальной и философской проблемой. Положение усугубляется тем, что все мы превосходно разбираемся в том, как использовать числа. Мы знаем, как они себя ведут, но не знаем, что они собой представляют.

Множества и классы

В 1880-х гг. Готлоб Фреге попытался решить эту концептуальную проблему, конструируя натуральные числа из еще более простых объектов – множеств, или, как он сам назвал их, классов. Его отправной точкой была стандартная ассоциация чисел со счетом. Согласно Фреге, два является свойством этих множеств, и только их, и его можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b} с несовпадающими элементами a и b. Тогда:

{один кот, другой кот}

{один велосипед, другой велосипед}

{один ломоть, другой ломоть}

могут соответствовать {a, b}, а значит, все они определены – что бы это ни значило – одинаковым числом.

К несчастью, использование списка стандартных множеств в качестве чисел, скорее всего, породит вопросы: слишком легко спутать символ с тем, что он представляет. Но как еще описать свойство этих множеств, которое можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством? Что есть это свойство? Фреге посетила превосходная идея. Есть четко определенное множество, связанное с любым свойством, буквально состоящее из всего обладающего этим свойством. Свойство «простой» ассоциируется со множеством всех простых чисел; свойство «равнобедренный» – со множеством всех равнобедренных треугольников и т. д.

Фреге предположил, что число два есть множество, включающее в себя все множества, которые можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b}. В более общем виде число является множеством всех множеств, которые можно сопоставить с любым заданным множеством. Так, например, число три – множество: {… {a, b, c}, {один кот, другой кот, еще один кот}, {X, Y, Z}, …}, хотя, пожалуй, лучше использовать математические объекты вместо котов или букв.

Исходя из этого Фреге открыл, что может подвести под всю арифметику целых чисел логическую основу. Вся она упрощается до явных свойств множеств. Всё это он изложил в своем труде «Основы арифметики: логически-математическое исследование о понятии числа» в 1884 г. Но, к его великому разочарованию, Георг Кантор, ведущий специалист в области математической логики, отмел эту книгу как бесполезную. В 1893 г. Фреге, не утративший решимости, опубликовал первый том другой книги, «Основные законы арифметики», в которой представил интуитивно правдоподобную систему аксиом арифметики. Пеано просмотрел ее, а все остальные проигнорировали. Через десять лет Фреге наконец-то подготовил к печати второй том, но к тому моменту сам успел обнаружить большой недостаток в своих аксиомах. Другие тоже заметили его недочеты.