Как безупречный логик, Фреге тут же понял намек Рассела – тем более что уже был готов к неприятностям. В целом его подход подразумевал, хотя и без доказательств, что любое описываемое свойство определяет значимое множество, состоящее из объектов, что обладают упомянутым свойством. Но здесь подразумевалось именно свойство, а не элемент множества как таковой, который явно не соответствовал множеству.

ПАРАДОКС РАССЕЛА

Менее формальный вариант парадокса, предложенного Расселом, – брадобрей, который бреет всякого, кто не бреется сам. Кто же тогда бреет его самого? Если он бреется сам, то определенно его бреет сельский брадобрей – т. е. он сам! Если он не бреется сам, его должен брить брадобрей, т. е. опять-таки он сам.

Если не прибегать ко всяким трюкам – например, брадобрей женского пола, – единственный возможный вывод таков: этого брадобрея не существует. Рассел переформулировал этот парадокс в рамках множеств. Допустим, множество X состоит из всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Будет ли тогда X элементом самого себя или нет? Если нет, то по определению оно принадлежит X – самому себе. Если да и оно элемент себя, то, подобно всем элементам X, оно не должно являться элементом самого себя. Но на этот раз выхода нет: женские множества пока не стали частью математических построений.

Мрачный Фреге был вынужден выпустить приложение к своему грандиозному опусу, в котором обсуждал возражения Рассела. Он нашел кратковременное решение: исключить из царства множеств те из них, которые являются элементами самих себя. Но даже ему самому это предложение не показалось достойным.

Рассел же попытался заполнить пробел Фреге в построении натуральных чисел с помощью множеств. Его идея состояла в ограничении того типа свойств, которые могут быть использованы для определения множества. Конечно, ему нужно было найти доказательство, что этот ограниченный тип свойств не приведет к парадоксу. В сотрудничестве с Альфредом Нортом Уайтхедом он пришел к сложной и искусственной теории типов, казавшейся достаточно объективной по крайней мере им самим. Они изложили свой подход в увесистом трехтомнике «Принципы математики», выпущенном в 1910–1913 гг. Определение числа два попало в конец первого тома, а теорема 1 + 1 = 2 доказана на с. 86 второго тома. Но и «Принципам математики» не суждено было положить конец фундаментальным спорам. Теория типов сама по себе была спорной. Математики желали получить что-то более простое и изящное.

Кантор

Эти исследования фундаментальной роли счета как основы для чисел привели к одному из самых нашумевших открытий в математической науке – теории Кантора о трансфинитных числах – разных размерах бесконечности.

Бесконечность, в самых разных ипостасях, неизбежна в математике. Здесь нет самого большого натурального числа – потому что с добавлением единицы мы всегда получаем число еще большее, – а значит, существует бесконечно много натуральных чисел. Геометрия Евклида работает на бесконечной плоскости, и он доказал, что существует бесконечное множество простых чисел. В преддверии исчисления несколько человек, в том числе и Архимед, сочли полезным рассмотреть площадь и объем как сумму бесконечно многих и бесконечно тонких слоев. Когда исчисление изобрели, картина была примерно такой же: применялись эвристические методы для вычисления площадей и объемов, даже если имеющиеся доказательства говорили об ином.

Эти проявления бесконечности можно перефразировать в конечных терминах, чтобы избежать философских споров.