Один из кандидатов на бесконечное кардинальное число, большее, чем א₀, – точнее, на бесконечное множество, для которого невозможно установить взаимно однозначное соответствие с множеством целых чисел, – это множество всех рациональных чисел, обычно обозначаемое Q. В конце концов, есть бесконечно много рациональных чисел в промежутке между двумя любыми последовательными целыми числами, и здесь уже не работает та хитрость, которая помогала нам с целыми числами.

Однако в 1873 г. Кантор доказал, что Q также имеет кардинальное число א₀. Взаимно однозначное соответствие основательно перемешивает числа, но никто и не говорил, что они должны располагаться согласно порядковым номерам. Кажется, всё выглядит замечательно: всякое бесконечное множество имеет кардинальное число א₀.

В том же году Кантор совершил важный прорыв. Он доказал, что последовательность  всех действительных чисел не имеет кардинального числа א₀. Неожиданную теорему об этом он опубликовал в 1874 г. Так что даже в неординарном понимании Кантора существует больше действительных чисел, чем целых. Одна бесконечность может быть больше другой.

Насколько велика мощность действительных чисел? Кантор надеялся, что это будет א₁, следующее наибольшее кардинальное число после א₀. Но он не смог этого доказать и потому обозначил новое кардинальное число С, от первой буквы слова «континуум». Ожидаемое уравнение С = א₁ было названо континуум-гипотезой. Математики сумели вывести соотношение между С и א₀ только в 1960 г., когда Пол Коэн доказал, что ответ зависит от аксиом, которые вы выбираете для теории множеств. С одним разумным набором аксиом два кардинальных числа равны. Но с набором других, не менее обоснованных, аксиом они будут разными.

Обоснованность равенства С = א₁ зависит от выбранных аксиом, но связанное с ним равенство от этого не зависит. Это равенство С = 2^א⁰. Для любого кардинального числа A мы можем определить 2^A как кардинальное число множества (мощностью А) всех его подмножеств. И мы можем очень легко доказать, что 2^A всегда больше A. Это значит, что не только некоторые бесконечности больше, чем другие, но и нет бесконечно большого кардинального числа.

Противоречия

Однако величайшей целью фундаментальной математики было все-таки не доказательство существования математических идей. Гораздо важнее было доказать, что математика логически последовательна. Ведь всем сегодня понятно: можно выстроить некоторую четкую последовательность безупречно правильных логических шагов, приводящую к абсурдному выводу. Может, вы соберетесь доказать, что 2 + 2 = 5 или 1 = 0, например. Или что 6 – простое число, или что π = 3.

Ведь может показаться, что одно незначительное противоречие будет иметь ограниченные последствия. В быту люди вообще спокойно воспринимают такие противоречия, заявляя в один момент, что глобальное потепление уничтожает планету, а в другой – что авиакомпании-лоукостеры – гениальное изобретение. Но для математики последствия не могут быть ограниченными, и вы не избежите логических противоречий, просто закрыв на них глаза. В математике, как только что-то доказано, вы можете использовать это для других доказательств. Доказательство того, что 0 = 1, повлечет еще больше неприятностей. Например, утверждение, будто все числа равны. Если x – любое число, то сначала умножим обе части равенства 0 = 1 на х. Тогда 0 = x. И если y – любое другое число, то 0 = y.