(v × w)^-1 = w^-1× v^-1

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

(v × w)^-1 × (w^-1× v^-1) = v × Будущее× v^-1 = Будущее

(w^-1× v^-1)× (v × w)^-1 = w^-1 × Будущее× w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / (v × w)= u × (v × w)^-1 = u × w^-1× v^-1= (u / w)/ v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Здесь a, b, c, d  – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v × w =

= (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) =

×

= aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север +

+ aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее +

+ bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север +

+ bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее +

+ cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север +

+ cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее +

+ dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север +

+ dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север +

+ (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

|v|² = a² + b² + c² + d²

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v × w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v^* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:

v^* = – a ∙ Восток – b ∙ Север – c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v × v^* = (a² + b² + c² + d²) ∙ Будущее = |v|² ∙ Будущее

Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v^* будет совпадать с обратным v^-1.