Изменить размер шрифта - +
Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:

v<sup>-1</sup> = v<sup>*</sup> / |v|<sup>2</sup>

В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:

(v × w)<sup>*</sup> = w<sup>*</sup>× v<sup>*</sup>

Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного вектора w<sup>*</sup>, можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w:

Проекция v × w<sup>*</sup> на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w)

Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент (a, b, c, d) вектора v на соответствующие компоненты (A, B, C, D) вектора w, называется скалярным произведением векторов v и w. Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.

Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h, причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g, а затем поделить справа на h. Иначе говоря, поворот вектора  выражается так:

v → g × v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v, поскольку |g| = |h| = |h<sup>-1</sup>| = 1 и

|g × v / h| = |g||v||h<sup>-1</sup>| = |v|

Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v × w<sup>*</sup>:

v → g × v / h

w → g × w / h

v × w<sup>*</sup> → (g × v / h) × (g × w / h)<sup>*</sup> =

= g × v × h<sup>-1</sup> × (g × w × h<sup>-1</sup>)<sup>* </sup>=

= g × v × h<sup>-1</sup> × h × w<sup>*</sup> × g<sup>-1 </sup>=

= g × (v × w<sup>*</sup>) × g<sup>-1</sup>

Поскольку g × Будущее/ g = Будущее, то эта операция не меняет проекцию  на вектор Будущее. А так как данная проекция определяет угол между v и w – вместе с их длинами, которые, как нам уже известно, остаются неизменными, – то неизменным остается и этот угол.

Все повороты, ограниченные тремя пространственными измерениями, можно описать как частный случай исходной формулы, положив в ней h = g:

v → g × v / g

Например, повороту на 180<sup>0</sup> в горизонтальной (Север-Восток) плоскости соответствует g = Верх.

Два других особых случая вращения достигаются при h = Будущее, то есть умножении слева на g:

v → g × v

и g = Будущее, при котором поворот сводится к делению на h:

v → v / h

Обе операции всегда осуществляют поворот сразу в двух ортогональных плоскостях – причем на один и тот же угол. Например, при умножении слева на Восток происходит поворот на 90<sup>0</sup> как в плоскости Будущее-Восток, так и в плоскости Север-Верх.

Рассмотрим поворот, который описывается величинами g и h, преобразующими векторы в соответствии со стандартной формулой:

v → g × v / h

Существуют еще две разновидности геометрических объектов, которые описываются с помощью кватернионов, но при этом не являются векторами, поскольку при том же самом повороте подчиняются другим правилам преобразования:

l → g × l

r → h × r

Эти любопытные объекты называются «спинорами»: l – «левым», а r – «правым».

Быстрый переход
Мы в Instagram